Enunciado

Nas partes (a)-(d), F ( x ) é dada em termos de f ( x ) e g ( x ) . Encontre F ' ( 2 ) , dado que f 2 = - 1 , f ' 2 = 4 , g 2 =   1 e g ' 2 = - 5 .

(a) F x = 5 f x + 2 g ( x )

(b) F x = f x - 3 g ( x )

(c) F x = f x g ( x )

(d) F x = f x g x

Passo 1

Se o problema está nos pedindo o valor da derivada de F ( x ) quando x = 2 , primeiro temos que derivar a função e depois substituir o ponto que queremos, ok?

Passo 2

(a)   F x = 5 f x + 2 g ( x )

Primeiro, vamos derivar:

F x = 5 f x + 2 g x

Derivando:

F ' x = 5 f ' x + 2 g ' ( x )

E no ponto x = 2 :

F ' 2 = 5 f ' 2 + 2 g ' ( 2 )

Como o enunciado nos deu que f ' 2 = 4 e g ' 2 = - 5 :

F ' 2 = 5 × 4 + 2 × - 5 = 20 - 10

F ' 2 = 10

Passo 3

(b) F x = f x - 3 g ( x )

Primeiro, vamos derivar:

F x = f x - 3 g x

Derivando:

F ' x = f ' x - 3 g ' ( x )

E no ponto x = 2 :

F ' 2 = f ' 2 - 3 g ' ( 2 )

Como o enunciado nos deu que f ' 2 = 4 e g ' 2 = - 5 :

F ' 2 = 4 - 3 - 5 = 4 + 15

F ' 2 = 1 9

Passo 4

(c) F x = f x g ( x )

Primeiro, vamos derivar:

F x = f x g x

Pela regra do produto:

F ' x = f x ' g x + f x g x '

F ' x = f ' ( x ) g x + f x g ' x

E no ponto x = 2 :

F ' 2 = f ' ( 2 ) g 2 + f 2 g ' 2

Como o enunciado nos deu que f 2 = - 1 , f ' 2 = 4 , g 2 =   1 e g ' 2 = - 5 :

F ' 2 = 4 1 + - 1 - 5 = 4 + 5

F ' 2 = 9

Passo 5

(d) F x = f x g x

Primeiro, vamos derivar:

F x = f x g x

Pela regra do quociente:

F ' x = f x ' g x - f x ( g ' x ) ( g x ) 2

F ' x = f ' x g x - f x ( g ' x ) ( g x ) 2

E no ponto x = 2 :

F ' 2 = f ' 2 g 2 - f 2 ( g ' 2 ) ( g 2 ) 2

Como o enunciado nos deu que f 2 = - 1 , f ' 2 = 4 , g 2 =   1 e g ' 2 = - 5 :

F ' 2 = ( 4 ) 1 - ( - 1 ) ( - 5 ) 1 2 = - 1 1

F ' 2 = - 1

Resposta

(a) F ' 2 = 10

(b) F ' 2 = 19

(c) F ' 2 = 9

(d) F ' 2 = - 1

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