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Encontre a derivada da função.

y = e 2 u e u + e - u

Passo 1

Primeiro temos que usar a regra da divisão para calcular:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f u = e 2 u

e

g u = e u + e - u

Vamos agora só montar na fórmula:

y ' = e 2 u e u + e - u ' = e 2 u ' . e u + e - u - e 2 u . e u + e - u ' e u + e - u 2

Passo 2

Vamos calcular f ' ( u ) , usando a regra da função exponencial e do polinômio:

e f x ' = e f x . f ' ( x ) e x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' ( u ) = e 2 u ' = e 2 u . 2 u ' = e 2 u . 2 u 1 - 1 = e 2 u . 2 u 0 = e 2 u . 2 . 1 = 2 e 2 u

Passo 3

Com g ' ( u ) usamos as mesmas regras além da regra da soma:

g ' e u + e - u = e u ' + e - u ' = e u . u ' + e - u . - u ' = e u . u 1 - 1 + e - u . - u 1 - 1 = e u . u 0 + e - u . - u 0 = e u . 1 + e - u . - 1 = e u - e - u

Passo 4

Agora voltamos a expressão do passo 1 para terminar:

y ' = e 2 u ' . e u + e - u - e 2 u . e u + e - u ' e u + e - u 2 = 2 e 2 u . e u + e - u - e 2 u . e u - e - u e u + e - u 2 = e 2 u . 2 e u + 2 e - u - e u + e - u e u + e - u 2 = e 2 u . e u + 3 e - u e u + e - u 2

Resposta

y ' = e 2 u . e u + 3 e - u e u + e - u 2

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