Encontre a derivada da função.

y = e^(2u) / (e^u + e^(-u))

Passo 1

Queremos encontrar a derivada da função:

y = e 2 u e u + e - u

Para isso vamos usar a regra do quociente:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f u = e 2 u

g u = e u + e - u

Vamos agora só montar na fórmula:

y ' = e 2 u e u + e - u ' = e 2 u ' . e u + e - u - e 2 u . e u + e - u ' e u + e - u 2

Passo 2

Agora a gente precisa usar a regra da cadeia pra calcular f ' ( u ) e g ' ( u ) :

d y d u = d y d x d x d u

f u = e 2 u

Podemos dizer que:

x = 2 u

d ( e 2 u ) d u = d e x d x d 2 u d u = 2 e x = 2 e 2 u

f ' u = 2 e 2 u

Agora vamos calcular:

g ' x = e u + e - u

Mas só a parte do e - u , beleza? Fazemos:

x = - u

d ( e - u ) d u = d e x d x d - u d u = - e x = - e - u

Logo:

g ' x = e u - e - u

Passo 3

Substituindo, temos:

y ' = e 2 u e u + e - u ' = 2 e 2 u . e u + e - u - e 2 u . e u - e - u e u + e - u 2

Agora é só simplificar:

y ' = 2 e 3 u + 2 e u - e 3 u + e u e u + e - u 2

y ' = e 3 u + 3 e u e u + e - u 2

Prontinhoo!

Resposta

y ' = e 3 u + 3 e u e u + e - u 2

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