Enunciado

Encontre a derivada da função dada:

f (x) = senh^(- 1) x^2

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de senh^(- 1)

(s en h^(- 1) x)^' = (1)/(sqrt(x^2 + 1))

Vamos fazer

f (x) = g (h (x))

Com

g (x) = senh^(- 1) x

h (x) = x^2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (x) = g^' (h (x)) h^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(sqrt(x^2 + 1))

Que é a derivada de senh^(- 1)

Então

f^' (x) = (1)/(sqrt((h (x))^2 + 1)) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = x^2 -> h^' (x) = 2 x

Vamos ter

f^' (x) = (1)/(sqrt((x^2)^2 + 1)) . 2 x

f^' (x) = (2 x)/(sqrt(x^4 + 1))

Resposta

f^' (x) = (2 x)/(sqrt(x^4 + 1))

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