Enunciado

Encontre a diferencial da função

a) y =   t g t

b) y = 1 - v 2 1 + v 2

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foram dadas as funções

y = tan ⁡ t ,     y = 1 - v 2 1 + v 2

E nosso objetivo é calcular as diferenciais dessas funções.

Tem ideia de como fazemos isso?

A diferencial de uma função é o valor infinitesimal d y de uma aproximação linear tambem infinitesimal d x .

A diferencial de uma função é calculada a partir da sua derivada... se temos uma função y , temos que derivando essa função vamos obter

d y d x = y '

Isolando d y em um lado da igualdade, temos nossa expressão para um diferencial

d y = y ' d x

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Começando pela função

y = tan ⁡ t

Para derivar essa função vamos aplicar a regra da cadeia

d y d t = d t d t · d tan ⁡ t d t

Pela regra da potência e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d y d t = 1 2 t · sec 2 ⁡ t

d y d t = sec 2 ⁡ t 2 t

Isolando d y em um lado da igualdade, vamos obter a diferencial

d y = sec 2 ⁡ t 2 t d x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular a diferencial da função

y = 1 - v 2 1 + v 2

Nesse caso vamos aplicar a regra do quociente

d y d x = d 1 - v 2 d v · 1 + v 2 - 1 - v 2 · d 1 + v 2 d v 1 + v 2 2

d y d x = - 2 v · 1 + v 2 - 1 - v 2 · 2 v 1 + v 2 2

d y d x = - 4 v 1 + v 2 2

Isolando d y em um lado da igualdade...

d y = - 4 v 1 + v 2 2 d x

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. d y = sec 2 ⁡ t 2 t   d t
  2. d y =   - 4 v 1 + v 2 2 d v
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