Enunciado

Encontre a diferencial da função.

y = sqrt(1 + t^2)

Passo 1

Encontramos o diferencial d y de uma função y ( t ) derivando-a e multiplicando pelo diferencial d t :

d y = y^' (t) d t

Os diferenciais servem para determinar qual a variação de y quando temos uma variação muito pequena de t . Então, derivando nossa função acharemos o diferencial. Podemos pensar que estamos “passando pro outro lado” d t na expressão da derivada:

(d y)/(d t) = y^' => d y = y^' d t

Essa notação não está correta pois d y e d t são valores infinitesimais e não podemos fazer essa manipulação algébrica, mas quando trabalhamos com diferenciais consideramos valores pequenos de d y e d t mas não tãaaao pequenos (podemos querer fazer uma linearização, usando d t = 0,01 , por exemplo), então podemos pensar assim.

Passo 2

Derivando y em relação a t , usando a regra da cadeia, temos:

y = sqrt(1 + t^2)

=> (d y)/(d t) = (1)/(2 sqrt(1 + t^2)) (2 t) = (t)/(sqrt(1 + t^2))

Nosso diferencial é então:

d y = (t d t)/(sqrt(1 + t^2))

Resposta

d y = (t d t)/(sqrt(1 + t^2))

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