Encontre a diferencial da função.

y = raiz(1 + t^2)

Passo 1

Encontramos o diferencial d y de uma função y ( t ) derivando-a e multiplicando pelo diferencial d t :

d y = y ' t   d t

Os diferenciais servem para determinar qual a variação de y quando temos uma variação muito pequena de t . Então, derivando nossa função acharemos o diferencial. Podemos pensar que estamos “passando pro outro lado” d t na expressão da derivada:

d y d t = y ' ⇒ d y = y ' d t

Essa notação não está correta pois d y e d t são valores infinitesimais e não podemos fazer essa manipulação algébrica, mas quando trabalhamos com diferenciais consideramos valores pequenos de d y e d t mas não tãaaao pequenos (podemos querer fazer uma linearização, usando d t = 0,01 , por exemplo), então podemos pensar assim.

Passo 2

Derivando y em relação a t , usando a regra da cadeia, temos:

y = 1 + t 2

⇒ d y d t = 1 2 1 + t 2 2 t = t 1 + t 2

Nosso diferencial é então:

d y = t   d t 1 + t 2

Resposta

d y = t   d t 1 + t 2

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