Encontre as dimensões de um cilindro circular reto com o maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio R .

Passo 1

Fala galera.

Nessa questão aqui, a gente tá falando de um cilindro inscrito numa esfera (inscrito é dentro). E a gente quer as dimensões desse cilindro, pra que ele tenha o maior volume possível.

Bem, quando a gente fala de maior ou menor possível, provavelmente é uma questão de otimização. Aqui a gente quer maximizar o volume. E quando a gente fala em maximizar, a gente tá falando em achar o ponto máximo e como é que a gente acha ponto máximo???

É isso aí, a gente deriva e iguala a zero!

V ' = 0

Mas calma! Antes de poder maximizar o volume, a gente precisa achar uma função pra ele. E é nessa parte que entra a geometria.

Tenta imaginar um cilindro inscrito em uma esfera de raio R . Quando isso acontece, a diagonal do cilindro é igual ao diâmetro da esfera, 2 R . Na figura abaixo, você vai ver melhor! A gente tá olhando o cilindro de frente. Vamos denominar de x o raio da base circular do cilindro e y a sua altura. Com isso, temos a seguinte projeção do triângulo retângulo formado no interior da esfera:

2 R

y

2 x

A partir desse triângulo, a gente consegue relacionar as dimensões do cilindro e da esfera, pelo Teorema de Pitágoras:

( 2 R ) 2 = 2 x 2 + y 2

E como o volume do cilindro é área da base vezes altura, então:

V = π x 2 y

Com a relação do Teorema de Pitágoras, a gente consegue escrever o volume em função de uma única variável (dado que o raio da esfera é um dado fixo). E depois disso, é só derivar o volume e igualar a zero, pra descobrir quando ele é máximo!

Passo 2

Do passo 1, temos que:

( 2 R ) 2 = 2 x 2 + y 2

Reorganizando:

4 R 2 = 4 x 2 + y 2

x 2 = 4 R 2 - y 2 4

Substituindo no volume:

V = π 4 R 2 - y 2 4 y

Reorganizando:

V = π R 2 y - π 4 y 3

E agora nós achamos o volume do cilindro em funç��o apenas da sua altura. O próximo passo é derivar.

Passo 3

Nosso volume é:

V = π R 2 y - π 4 y 3

Derivando:

d V d y = π R 2 - 3 π 4 y 2

Igualando a zero:

π R 2 - 3 π 4 y 2 = 0

Colocando y em evidência:

y 2 = 4 3 R 2

E achamos a altura do cilindro de volume máximo:

y = R 2 3 = 2 3 3 R

Passo 4

Agora pra achar o raio da base do cilindro é só substituir na relação que veio do nosso Teoreminha de Pitágoras:

4 R 2 = 4 x 2 + y 2

4 R 2 = 4 x 2 + 4 3 R 2

Dividindo tudo por 4 :

R 2 = x 2 + R 2 3

Isolando x :

x 2 = R 2 - R 2 3

x 2 = 2 3 R 2

E finalmente encontramos o raio da base do cilindro:

x = 2 3 R

x = 6 3   R

E relembrando que a altura é:

y = 2 3 3 R

Se você reparar, o raio deve valer o dobro da altura. Essas são as dimensões do cilindro de maior volume inscrito em uma esfera de raio R !

Resposta

x = 6 3 R

y = 2 3 3 R

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