Encontre as dimensões de um cilindro circular reto com o maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio .
Passo 1
Fala galera.
Nessa questão aqui, a gente tá falando de um cilindro inscrito numa esfera (inscrito é dentro). E a gente quer as dimensões desse cilindro, pra que ele tenha o maior volume possível.
Bem, quando a gente fala de maior ou menor possível, provavelmente é uma questão de otimização. Aqui a gente quer maximizar o volume. E quando a gente fala em maximizar, a gente tá falando em achar o ponto máximo e como é que a gente acha ponto máximo???
É isso aí, a gente deriva e iguala a zero!
Mas calma! Antes de poder maximizar o volume, a gente precisa achar uma função pra ele. E é nessa parte que entra a geometria.
Tenta imaginar um cilindro inscrito em uma esfera de raio . Quando isso acontece, a diagonal do cilindro é igual ao diâmetro da esfera, . Na figura abaixo, você vai ver melhor! A gente tá olhando o cilindro de frente. Vamos denominar de o raio da base circular do cilindro e a sua altura. Com isso, temos a seguinte projeção do triângulo retângulo formado no interior da esfera:
A partir desse triângulo, a gente consegue relacionar as dimensões do cilindro e da esfera, pelo Teorema de Pitágoras:
E como o volume do cilindro é área da base vezes altura, então:
Com a relação do Teorema de Pitágoras, a gente consegue escrever o volume em função de uma única variável (dado que o raio da esfera é um dado fixo). E depois disso, é só derivar o volume e igualar a zero, pra descobrir quando ele é máximo!
Passo 2
Do passo 1, temos que:
Reorganizando:
Substituindo no volume:
Reorganizando:
E agora nós achamos o volume do cilindro em funç��o apenas da sua altura. O próximo passo é derivar.
Passo 3
Nosso volume é:
Derivando:
Igualando a zero:
Colocando em evidência:
E achamos a altura do cilindro de volume máximo:
Passo 4
Agora pra achar o raio da base do cilindro é só substituir na relação que veio do nosso Teoreminha de Pitágoras:
Dividindo tudo por :
Isolando :
E finalmente encontramos o raio da base do cilindro:
E relembrando que a altura é:
Se você reparar, o raio deve valer o dobro da altura. Essas são as dimensões do cilindro de maior volume inscrito em uma esfera de raio !