Enunciado

A janela de uma igreja consiste em um retângulo com semicírculo em cima e deve ter um perímetro p . Encontre o raio do semicírculo para que a área da janela seja máxima.

Passo 1

Vamos começar por escrever uma expressão pro perímetro p . O perímetro nada mais é que a soma dos comprimentos de cada lado da janela.

Portanto, temos 2 lados do retângulo que são iguais, que vamos dar o valor x ; temos o terceiro lado do retângulo (embaixo), que vamos dar o valor y ; temos, por fim, o semicírculo que ocupa o lugar do outro lado do retângulo que também mediria y . Esse semicírculo vai ter comprimento C .

C

x

x

y

Finalmente podemos escrever a expressão pra p que será:

p = 2 x + y + C

Passo 2

Precisamos, antes de seguir, escrever o comprimento C do semicírculo em função de seu raio, r .

Sabemos a expressão pro comprimento do círculo inteiro, 2 C , que é dada por:

2 C = 2 π r

Assim, temos pro comprimento do semicírculo a seguinte expressão em função do raio r :

C = π r

Repara também que o raio vale metade do lado y . Podemos reescrever a expressão pra C da seguinte forma:

C = π y 2

Agora, reescrevemos a expressão do perímetro p :

p = 2 x + y + π y 2

Passo 3

Agora, precisamos escrever uma expressão pra área A da janela. Temos o somatório da área do retângulo com a área do semicírculo. Escrevemos:

A = x y + π r 2 2

Vamos escrever o raio r em função de y , como já fizemos no passo anterior e teremos a expressão pra área em função de x e y apenas:

A = x y + π y 2 2 2

A = x y + π y 2 8

Por fim, vamos escrever x em função de y pra termos uma função A ( y ) , escrita apenas em função de y . Fazemos isso pela expressão do perímetro p . Temos que:

p = 2 x + y + π y 2

Assim:

x = y 2 + π y 4 - p 2

Substituímos essa sentença na expressão de A e vamos ter:

A y = y 2 + π y 4 - p 2 y + π y 2 8

A y = y 2 2 + π y 2 4 - p y 2 + π y 2 8

Passo 4

Com uma função em uma só variável, podemos fazer a otimização. Queremos a maior área possível. Assim, vamos derivar a função, igualar a zero e determinar o(s) ponto(s) crítico(s). Teremos:

A ' y = y + π y 2 - p 2 + π y 4

Igualamos a zero:

y + π y 2 - p 2 + π y 4 = 0

y + π y 2 + π y 4 = p 2

Pomos y em evidência:

y 1 + π 2 + π 4 = p 2

y 3 π + 4 4 = p 2

∴ y = 2 p 3 π + 4

Assim, esse é o valor pra y que vai nos fornecer a maior área possível pra janela. Mas o exercício nos pede o valor do raio do semicírculo.

Temos a correlação entre esse raio e y , que é:

r = y 2

Então, o valor do raio vai ser:

r = 2 p 3 π + 4 2

∴ r = p 3 π + 4

Resposta

O raio deve valer r = p 3 π + 4

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