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Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

44. Hipérbole, vértices 0 , ± 2 ,   focos ( 0 , ± 5 )

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus vértices e focos para econtrarmos sua equação.

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1 .

Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo X , podemos ver isso pelas coordenadas do foco, que mudam apenas em y .

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos V 1 = 0 , - 2   e   V 2 = ( 0 , 2 ) , nosso centro será ( 0,0 ) . Portanto ( x 0 , y 0 ) = ( 0,0 )

Sabemos que os focos de uma hipérbole com eixo maior em Y são f = ( 0 , ± c ) , e os vértices são V = ( 0 , ± a ) , então sabemos que c = 5 e a = 2 .

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 + b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 + b 2

25 = 4 + b 2

b 2 = 21

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

x 2 4 - y 2 21 = 1

Resposta

x 2 4 - y 2 21 = 1

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