Enunciado

31-48. Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

32. Parábola, foco ( 0,0 ) , diretriz y = 6

Passo 1

Então pessoal, uma equação de parábola em seu formato geral, de acordo com a seção 10.5 do James, é dada da seguinte maneira:

x 2 = 4 p y

No qual seu foco é dado em ( 0 , p ) e sua diretriz é dada em y = - p . Um outro formato é obtido se fizermos a inversa dessa função, ou seja, refleti-la em torno da reta y = x . Se fizermos isso, o formato geral da equação de parábola ficará:

y 2 = 4 p x

No qual seu foco é dado em ( p , 0 ) e sua diretriz é dada em x = - p . No entanto, aqui aparece um certo probleminha! O foco de uma parábola não pode ser igual ao seu vértice, gente. Para o foco ser na origem, então a parábola obrigatoriamente tem que estar deslocada para algum lugar! Para esse tipo de situação as equações acima não são válidas, pois elas consideram que a parábola tem vértice na origem, isto é, em ( 0,0 ) . Para esse tipo de caso, temos as seguintes equaçãos:

x - x o 2 = 4 p ( y - y o )

Ou:

y - y o 2 = 4 p ( x - x o )

No qual x o e y o se referem ao ponto ( x o , y o ) no qual o vértice se encontra. Sendo assim, temos que descobrir o vértice da nossa parábola!

Passo 2

A questão nos diz que a parábola tem diretriz em y = 6 . Opa, aqui tem algo interessante! No passo 1 foi dito que se a parábola tem diretriz em y = - p , então o formato da mesma será:

x 2 = 4 p y

Ou, no nosso caso:

x - x o 2 = 4 p ( y - y o )

Para uma parábola deslocada, temos que a diretriz é dada pela seguinte relação:

y = y o - p

E o foco é dado pela seguinte relação:

( x o ,   y o + p )

Como y = 6 , então teremos:

6 = y o - p

p = y o - 6

E como o foco da nossa parábola está em ( 0,0 ) , então:

0 , y o + p = ( 0,0 )

y o + y o - 6 = 0

∴ y o = 3

Então nosso vértice está em x o , y o = ( 0,3 ) .

Passo 3

Ufa, agora sim temos tudo que precisamos! Aliás, só para finalizar, como y = 6 e y = y o - p , então p = - 3 . Substituindo na expressão da nossa parábola, teremos:

x - x o 2 = 4 p ( y - y o )

∴ x 2 = - 12 ( y - 3 )

Resposta

x 2 = - 12 ( y - 3 )

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