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Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

42. Elipse, focos ( ± 4 , 0 ) , passando por ( - 4 ,   1,8 )

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seu foco e um ponto pelo qual ela passa para econtrarmos sua equação.

Bom, sabemos que é uma elipse, e elipses tem equações no formato x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 .

Note que essa é uma elipse com eixo maior no eixo X , podemos ver isso pelas coordenadas do foco, que mudam apenas em x .

O centro da elipse fica na metade do caminho entre seus focos, então nosso centro será C = ( 0,0 )

Podemos chamar de c a distância do centro da elipse ao foco, então teremos c = 4

Da definição de elipse, sabemos que a soma das distâncias entre um ponto P na elipse até um dos focos dela com a distância desse mesmo ponto P até o outro foco é igual a metade da distância entre o centro e o vértice da elipse, ou seja isso é igual a a .

Para entendermos melhor, podemos escrever: a = D p , f 1 + D p , f 2 2

Então vamos calcular a distância entre ( - 4 ,   1,8 ) E ( - 4,0 ) :

D = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

D 1 = - 4 - ( - 4 ) 2 + 1,8 - 0 2

D 1 = 1,8

Agora vamos calcular a distância entre ( - 4 ,   1,8 ) e ( 4,0 ) :

D 1 = - 4 - 4 ) 2 + 1,8 - 0 2

D 2 = 8,2

Show! Agora ficou fácil encontrar a .

a = 8,2 + 1,8 2

a = 5

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 - b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 - b 2

16 = 25 - b 2

b 2 = 9

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

x 2 2 5 + y 2 9 = 1

Resposta

x 2 25 + y 2 9 = 1

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