Enunciado

Determine o tipo de curva representado pela equação x 2 k + y 2 k - 16 = 16 em cada um dos seguintes casos:

  1. k > 16 , (b) 0 < k < 16 e (c) k < 0

(d) Mostre que todas as curvas nas partes (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de k .

Passo 1

Fala ai pessoal! Tudo de boa?

Nesta questão teremos que verificar qual o tipo de curva esta equação representa quando mudamos o valor de k . Além de ver o valor do foco para os valores de k > 16   e 0 < k < 16 .

Para os três primeiros casos iremos substituir os valores de k na equação dada no enunciado, enquanto no último será uma demonstração.

Preparados? Mão na Massa!

Passo 2

a) Quando k > 16 , podemos reescrever nossa equação como:

x 2 k 2 + y 2 k - 16   2 = 16

x 2 4 k 2 + y 2 4 k - 16   2 = 1

Essa é uma equação de e l i p s e , já que obedece o formato

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Passo 3

b) Quando 0 < k < 16 , nossa equação x 2 k + y 2 k - 16 = 16 pode ser reescrita como

x 2 k - y 2 16 - k = 16

x 2 k 2 - y 2 16 - k 2 = 16

x 2 4 k 2 - y 2 4 16 - k 2 = 1

Essa é uma equação de h i p é r b o l e , já que obedece o formato

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Passo 4

c) Vamos analisar nossa equação com cuidado: x 2 k + y 2 k - 16 = 16

Sabemos que x 2 e y 2 sempre são números positivos e quando k < 0 , ambos os denominadores da nossa equação ( k e     k - 16 ) são números negativos.

A divisão entre um número positivo e um negativo é negativo, então nossa equação fica:

n ú m e r o ≤ 0 + n ú m e r o ≤   0 = 1

Mas veja que isso é impossível de acontecer, a soma de dois números negativos nunca será um número positivo, então nesse caso nossa equação n ã o   r e p r e s e n t a   u m a   c u r v a e não existe nenhum par de números reais que satisfaça a equação.

Passo 5

d) Precisamos mostrar que todas as curvas dos itens (a) e (b) possuem os mesmos focos.

Bom, nós temos duas possibilidades:

Caso 1: k > 16

Como visto no item (a), a equação fica

x 2 4 k 2 + y 2 4 k - 16   2 = 1

Nossos focos são f = ( ± c , 0 )

Onde

c 2 = a 2 - b 2

c 2 = 16 k - 16 k - 16

c ² = 16 2

c = ± 16

Então f = ( ± 16,0 )

Caso 2: 0 < k < 16

Como visto no item (b), a equação pode ser escrita como:

x 2 4 k 2 - y 2 4 16 - k 2 = 1

Nossos focos são f = ( ± c , 0 )

Onde

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 16 k + 16 16 - k

c ² = 16 2

c = ± 16

Então f = ( ± 16,0 )

Tanto para o Caso 1 quando para o Caso 2, nós concluímos que o foco é ± 16,0 , qualquer que seja o valor de k , desde que k > 0   e ≠ 16

Resposta

  1. Elipse
  2. Hipérbole
  3. Não é uma curva

(d) Demonstração

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