Enunciado

61. Encontre uma equação para a reta normal á curva y = x que seja paralela à reta 2 x + y = 1 .

Passo 1

Oiii, vamos fazer essa questão! Queremos achar a equação para a reta normal a curva:

y = x

Mas o que que é uma reta normal?!

É uma reta perpendicular à reta tangente a curva neste ponto!

Para uma reta ser perpendicular à outra os seus coeficientes angulares tem que ser inversos, ou seja:

m N = - 1 m C

Além disso o enunciado diz que essa reta normal é paralela à:

2 x + y = 1

Retas paralelas tem o mesmo coeficiente angular! Que nesse caso é igual a:

y = - 2 x + 1 → m = - 2

Esse vai ser o coeficiente angular da reta normal a curva, m N . Agora podemos achar o coeficiente angular da reta tangente:

m C = 1 2

Passo 2

Show! Agora precisamos achar um ponto que pertença a reta normal. Ele pode ser o ponto de intersecção da reta tangente com a reta normal!

Para a reta tangente à curva temos:

y ' x 0 = 1 2

Esse é o coeficiente angular que descobrimos lá em cima, só que a gente não conhece o x 0 para termos esse resultado. Então vamos calcular y ' ( x ) pra achat x 0 :

y = x → t = x 1 2

Usando a regra da potência:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Temos:

y ' = 1 2 x - 1 2

Temos que:

y ' x 0 = 1 2 x - 1 2 = 1 2

x - 1 2 = 1

x = 1

Vamos achar y 0 :

y = 1 = 1

Passo 3

Agora sim, podemos escrever a equação da reta tangente:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 1 = - 2 ( x - 1 )

y = - 2 x + 3

Prontinho, agora se liga nesse desenhozinho só pra ficar mais bonitinho pra vocês:

Resposta

y = - 2 x + 3

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Encontre os pontos na curva y = t g x , - π / 2xπ / 2 , em que a normal seja paralela à reta y = - x / 2 . Esboce a curva e as normais juntas, identificando cada uma com sua respectiva equação.
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