Enunciado

Mostre que a reta normal, em qualquer ponto do círculo x 2 + y 2 = a 2 passa pela origem.

Passo 1

Para achar a reta normal, podemos pegar a reta tangente e usar que o produto do coeficiente angular das duas é igual a - 1 . Então vamos achar a equação da reta tangente através da derivada e em seguida vamos achar a equação da reta normal em um ponto qualquer do círculo e em seguida vamos verificar que a afirmação é verdadeira.

Passo 2

x 2 + y 2 = a ²

y 2 = a 2 - x ²

y = ± a 2 - x ²

A função dada pelo sinal positivo nos dá a parte de cima do círculo e a com o sinal negativo nos dá a parte de baixo do círculo. Vamos pegar a função positiva (para a parte de baixa é só utilizar o pensamento análogo, com a função negativa):

y = a 2 - x ²

y ' = 1 2 a 2 - x 2 . - 2 x

Passo 3

Pegamos o ponto genérico x 1 , y 1 e usamos que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a - 1 :

m 1 . m 2 = - 1

- x 1 a 2 - x 1 2 . m 2 = - 1

m 2 = 1 x 1 a 2 - x 1 2

A equação da reta é: y = 1 x 1 a 2 - x 1 2 x + b

Resposta

Para chegar a afirmação precisamos substituir o ponto na equação da reta e chegamos a conclusão de que b = 0 , o que indica que a reta passa pela origem:

y = 1 x 1 a 2 - x 1 2 x 1 + b

Como o ponto ( x 1 , y 1 ) pertence ao círculo, deve obedecer à equação   y = a 2 - x ² :

a 2 - x 1 ² = a 2 - x 1 2 + b

b = 0

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