Enunciado

Mostre que as tangentes à curva y = π s e n x x em x = π e x = - π se cruzam formando ângulos retos.

Passo 1

A primeira derivada de uma função em determinado ponto nos dá o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto, portanto para resolver a questão precisaremos achar a primeira derivada da curva dada. Usaremos que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a -1.

Passo 2

y = π s e n x x

Precisamos utilizar aqui a regra do quociente:

y ' = π x c o s x - s e n x x 2

Passo 3

y ' π = π π c o s π - s e n π π 2

y ' π = - 1

y ' - π = π - π cos ⁡ - π - s e n - π - π 2

y ' - π = 1

Resposta

Concluimos que y ' - π . y ' π = 1 , portanto a afirmação é verdadeira.

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