Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva y = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 3 que é paralelo à linha 3 x - y = 15 .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 3 , de forma que essa reta tangente seja paralela à linha 3 x - y = 15 .

Bom, se essas retas são paralelas, significa que elas possuem o mesmo coeficiente angular, certo? Assim, sabendo que a equação de uma linha é dada de forma genérica por y = a x + b , onde a é o seu coeficiente angular, vamos obter o valor de a da nossa linha, comparando 3 x - y = 15 com a forma geral.

Com isso, teremos o coeficente angular da nossa reta tangente, que será numericamente igual a derivada de y = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 3 . Então, igualando o valor de a com a derivada da função, vamos encontrar pontos de tangência em x . Substituindo na função, teremos seus correspondentes em y .

Por fim, basta a gente substituir os resultados encontrados na equação da reta:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando o coeficiente angular da linha:

3 x - y = 15

Isolando y :

→   y = 3 x - 15

Assim, comparando com y = a x + b , temos que nosso coeficiente angular é:

a = 3

E esse é o mesmo coeficiente angular da nossa reta tangente, que é numericamente igual a derivada da função y = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 3 , lembra?

Passo 3

Derivando y = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 3 , vamos obter:

y ' = 3 x 2 - 6 x + 3

Então, vamos igualar ao a que já encontramos:

3 x 2 - 6 x + 3 = 3

Resolvendo essa equação do grau, encontramos as raízes:

x 1 = 0 e x 2 = 2

Esses são nossos pontos de tangência.

Passo 4

Agora falta encontrar os correspondentes em y , então vamos substituir na função:

y 1 = 0 3 - 3 0 2 + 3 0 - 3

y 1 = - 3

E

y 2 = 2 3 - 3 2 2 + 3 2 - 3

y 2 = - 1

Assim temos dois pontos: 0 , - 3 e ( 2 , - 1 ) . Mas a gente só quer uma reta tangente, então vamos escolher ( 0 ,   - 3 ) . Assim, usando o coeficiente angular m = 3 , teremos a equação da reta:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - - 3 = 3 ( x - 0 )

Resolvendo e isolando y , temos:

y = 3 x - 3

Valeu, galera! Atéa a próxima! 😉

Resposta

y 1 = 3 x - 3

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