Enunciado

Se um mergulhador de massa m permanece na ponta de um trampolim de comprimento L e densidade linear ρ , o trampolim toma a forma da curva y = f ( x ) , em que

E I y n = m g L - x + 1 2 ρ g L - x 2

E I são constantes positivas que dependem do material do trampolim e g ( < 0 ) é a aceleração da gravidade.

(a) Encontre uma expressão para a forma da curva.

(b) Use f ( L ) para estimar a distância da horizontal à ponta do trampolim.

Passo 1

  1. E I y ' ' = m g L - x + 1 2 ρ g L - x 2
  2. E I y ' = - 1 2 m g L - x 2 = 1 6 ρ g L - x 3 + C

    E I y = 1 6 m g L - x 3 + 1 24 ρ g L - x 3 + C x + D

    Desde que a extremidade esquerda da borda esteja fixa, nós teremos que:

    y = y ' = 0 quando x = 0

    Então:

    0 = - 1 2 m g L 2 - 1 6 ρ g L 3 + C e 0 = 1 6 m g L 3 + 1 24 ρ g L 4 + D

    Consequentemente,

    E I y = 1 6 m g L - x 3 + 1 24 ρ g L - x 4 + 1 2 m g L 2 + 1 6 ρ g L 3 x - 1 6 m g L 3 + 1 24 ρ g L 4

    f x = y = 1 E I 1 6 m g L - x 3 + 1 24 ρ g L - x 4 + 1 2 m g L 2 + 1 6 ρ g L 3 x - 1 6 m g L 3 + 1 24 ρ g L 4

    Passo 2

  3. f L < 0 , logo a extremidade da borda tem uma distância de aproximadamente - f ( L ) abaixo da horizontal. Pelo resultado em (a) nós calculamos:

- f L = - 1 E I 1 2 m g L 3 + 1 6 ρ g L 4 - 1 6 m g L 3 - 1 24 ρ g L 4

- f L = - 1 E I 1 3 m g L 3 + 1 8 ρ g L 4 = - g L 3 E I m 3 + ρ L 8

Esse valor é positivo pois g é negativo.

Resposta

  1. f x = y = 1 E I 1 6 m g L - x 3 + 1 24 ρ g L - x 4 + 1 2 m g L 2 + 1 6 ρ g L 3 x - 1 6 m g L 3 + 1 24 ρ g L 4
  2. - f L = - g L 3 E I m 3 + ρ L 8
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