Enunciado

Encontre uma equação para a reta tangente à curva y = x x que seja paralela à reta y = 1 + 3 x .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😎

Queremos encontrar a equação da reta tangente à curva dada por:

y = x x = x x 1 2 =   x 3 2

e que seja paralela a reta

y = 1 + 3 x

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Sabe-se que duas retas são paralelas quando possuem o mesmo valor de coeficiente angular m .

A equação de uma reta pode ser dada pela forma reduzida:

y = m x + q

onde m é o coeficiente angular (inclinação da reta) e q é o coeficiente linear.

Neste caso, a reta   y = 1 + 3 x possui m = 3

Logo, a reta tangente à curva que é paralela a essa reta deverá ter um m = 3 também, pois são paralelas.

Veja só! 😊

Passo 2

Sabe-se que m = y ' x 0 ,   y 0 onde x 0 ,   y 0 é o ponto de tangência e y ' é a derivada de y .

Podemos começar calculando y ' pela regra da potência

d x a d x = a x a - 1

Nesse caso como temos

y = x 3 2

Então

y ' = 3 2 x 3 2 - 1

y ' = 3 2 x 1 2

Então, temos que

m = 3 = y ' x 0 ,   y 0 =     3 2 x 0 1 2

daí teremos uma equação para resolver em   x 0 .

Resolvendo, temos

x 0 1 2 =   2 3   3

x 0 =   2 2 = 4

Substituindo na equação da curva obteremos y 0 , assim:

y 0 =   x 0 3 2 =   4 3 2

y 0 = 8

Portanto, o ponto de tangência será o ponto 4,8 que pertence tanto a reta tangente quanto a curva. Com isso podemos descobrir o valor de q desta reta, fazendo a substituição desse ponto na equação dessa reta tangente, assim:

y 0 = m x 0 + q     →     8 = 3   4 + q     →     q = 8 - 12 =   - 4

Logo, a equação da reta tangente será

y = 3 x - 4

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

y = 3 x - 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

a) Encontre a equação da reta tangente à curva y = sec ⁡ x - 2 cos ⁡ x no ponto π 3 , 1 .b) Ilustre a a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tangente na mesma tela.
Use um SCA para derivar a função f x = x 4 - x + 1 x 4 + x + 1 e para simplificar o resultado.Onde o gráfico de f tem tangentes horizontais?Faça na mesma tela os gráficos de f e f ' . Os gráficos são
Um monitor é usado para medir os batimentos cardíacos de um paciente após uma cirurgia. Ele fornece um número de batimentos cardíacos após t minutos. Quando os dados na tabela são localizados em um gr
Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto dado: y = x 4 , ( 1,1 )
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x 4 + x 2 - x , 1,2