Enunciado

Trace um diagrama para mostrar que há duas retas tangentes à parábola y = x 2 que passam pelo ponto 0 , - 4 . Encontre as coordenadas dos pontos onde essas retas tangentes interceptam a parábola.

Passo 1

E aí, pessoal! 😁

Queremos encontrar o ponto de interseção de cada reta tangente com a parábola dada por

y = x 2

sendo que cada uma dessas duas retas tangentes passa pelo ponto ( 0   ,   - 4 ) .

Parece complicado? 👀

Derivando a função y = x 2 obtemos a expressão para o coeficiente angular das retas tangentes, assim:

m = y ' x 0 ,   y 0

em que ( x 0 ,   y 0 ) é o ponto de interseção.

Veja só! 😇

Passo 2

Derivando y pela regra da potência para obter m , temos

y = x 2 → y ' = 2 x 2 - 1

y ' = 2 x

Fazendo primeiramente um esboço, nos ajudará a visualizar a situação:

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Pelo esboço, percebe-se que a ordenada do ponto de interseção y 0 será a mesma para as duas retas tangentes e as abscissas serão simétricas x 0 e - x 0 .

A equação de uma reta tangente que passa por ( 0 , - 4 ) é dada por:

y - - 4 = m . x - 0

y + 4 = 2 x 0 x - 0

  y + 4 = 2 x 0   x

A interseção dessa reta com a parábola é o ponto ( x 0 , y 0 ) como vemos pelo gráfico.

Então, fazendo a interseção da parábola com uma das retas tangentes temos a seguinte equação para resolver em x 0 :

x 2 =   2 x 0 x - 4

Como o ponto ( x 0 , y 0 ) pertence tanto à tangente como à parábola, então podemos substituir esse ponto na equação, assim:

x 0 2 = 2 x 0 x 0 - 4

x 0 2 =   2 x 0 2 - 4

4 = x 0 2

Logo, temos que

x 0 = ± 2 e y 0 = x 0 2 = ( ± 2 ) 2 = 4

E os possíveis pontos de interseção são ( 2 ,   4 ) e ( - 2 ,   4 )

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😬

Resposta

( 2 ,   4 ) e ( - 2 ,   4 )

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Quais são os valores de x para os quais o gráfico f x = x 3 + 3 x 2 + x + 3 tem tangentes horizontais ?
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