Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:

52) y = 1 + x ³ ,   ( 2,3 )

Passo 1

Legal galera, a inclinação da reta tangente é obtida pela derivada da função, lembram?

m t g = y '

Então vamos derivar a função. Como? Usando a Regra da Cadeia, e para isso:

u = 1 + x ³

E:

y = u = u 1 2

Então:

d y d x = d y d u . d u d x

Vamos começar derivando y em função de u:

d y d u = 1 2 u - 1 2 = 1 2 u

Agora, u em relação a x:

d u d x = 3 x ²

Sendo assim:

d y d x = 3 x ² × 1 2 u

Substituindo u:

y ' = 3 x ² 2 1 + x ³

No ponto 2,3 :

y ' = 3 ( 2 ) ² 2 1 + ( 2 ) ³ = 12 6 = 2

Passo 2

Não é bem isso que queremos, não é? Sabemos que:

m t g = y ' = 2

Mas queremos a equação da reta tangente que passa por 2,3 . Então vamos lembrar a equação da reta:

y - y p = m t g ( x - x p )

Agora ficou fácil, é só substituir:

y - 3 = 2 ( x - 2 )

Então:

y = 2 x - 4 + 3

y = 2 x - 1

Prontinhoo!

Resposta

y = 2 x - 1

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