Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.

y = e x x ,     1 , e

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😉

Queremos determinar a equação da reta tangente à curva y = e x x no ponto ( 1 , e ) .

Parece complicado? 😉

Sabe-se que a equação de uma reta pode ser dada em sua forma reduzida y = m x + q , onde m é a inclinação da reta e q o coeficiente linear (interseção com o eixo y ) que precisamos descobrir.

A inclinação m pode ser dada por m = y ' ( 1 , e ) que representa a derivada da função da curva no ponto ( 1 , e ) . Vamos, então, ter que obter a derivada de y = e x x .

Veja só! 😬

Passo 2

Para isso, teremos que usar a Regra da Derivada do Quociente.

y = f g → y ' = f ' · g - f · g ' g 2

Assim, se f = e x e g = x , então

f ' = e x

E

g ' = 1

Substituindo na regra do quociente...

y ' = f ' · g - f · g ' g 2

y ' = e x x - e x 1 x 2

y ' = x - 1 e x x 2

Tranquilo até aqui? 😇

Passo 3

Daí, teremos que

m = y ' 1 , e

m = 1 - 1 e 1 2

m = 0

Usando o fato de que a reta passa pelo ponto ( 1 , e ) , pois é o ponto de tangência, então temos:

e = 0 1 + q     →     q = e

Portanto, a equação da reta tangente será

y = e

(tangente horizontal, pois m = 0 )

E aí! o que achou? Responde Aí! 🤔

Resposta

y = e

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Ache uma equação da reta normal à curva y = e 2 x no ponto onde x = ln ⁡ 2 .
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Nos Exercícios 35-38, represente graficamente as curvas nos intervalos dados e suas respectivas tangentes para os valores dados de x . Identifique cada curva e tangente com a sua equação respectiva.35
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