Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do ponto dado. A seguir, trace a curva e a reta tangente

x = t 2 - t

y = t 2 + t + 1  

X 0 ,   Y 0 = 0,3

Passo 1

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia e evoluída. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora. ( o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )

d y d x = d y d x * d t d t   → d y d t * d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Use a forma que achar melhor e que for mais fácil para resolver a nossa equação. Quando terminarmos de calcular a derivada, vamos montar a equação da reta tangente . Beleza, então temos essas equações

x = t 2 - t

y = t 2 + t + 1  

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t 2 + t + 1   d d t t 2 - t

Passo 2

Então nossa derivada fica :

d y d x = d d t t 2 + t + 1   d d t t 2 - t

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

= 2 t + 1   2 t - 1

Passo 3

Diferente dos exercícios anteriores vamos precisar achar o valor de t para achar a inclinação da reta tangente

x = t 2 - t

Se x = 0 , então nossa equação fica

t   t - 1 = 0

Então

t = 0  

Ou

t = 1

Para descobrir isso vamos precisar usar nossa equação para y

y = t 2 + t + 1  

Precisamos que y = 3 . Se t = 0 , nossa y fica y = 1 . Só nos resta então a solução onde

t = 1

Beleza! Vamos em frente, vamos plotar esse valor de t na nossa derivada

d y d x =     2 t + 1   2 t - 1

= 2 + 1 2 - 1

= 3

Lembra como montamos uma equação de reta?

y - y 0 = a x - x 0

Onde esse ( x 0 ,   y 0 ) são nossos pontos iniciais. E desta vez o nosso enunciado já nos deu os pontos :

x 0 ,   y 0 = 0 , 3

Logo nossa equação da reta fica

y - y 0 = a x - x 0

y - 3 = 3 (   x   )

Passo 4

Por fim, vamos desenhar esse gráfico e ver como ele se comporta geometricamente

A parábola é nossa função parametrizada. E a reta laranja é nossa reta tangente ao ponto P. Show! Conforme você for resolvendo mais funções, mais vai pegando o jeito. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução : )

Resposta

y = 3 x + 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 29 a 32, ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados:29. r = 2 c o s θ r = 2 s e n θ ; 2 , π 4
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes18. r = 2 s e n 3 θ
Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo valor de θ é o indicado. Faça um esboço da curva e mostre χ e α .26. r = c o s 2 θ ; θ = π 12
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes17. r = c o s 2 θ
Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo valor de θ é o indicado. Faça um esboço da curva e mostre χ e α .23. r = s e c 2 θ ; θ = - π 8