Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n + 3^n)

Passo 1

Fala aí, galera!

Esta questão pede para gente verificar se a série dada é convergente ou divergente. Para isso, a gente precisa descobrir qual dos testes aprendidos é melhor para resolver o problema.

Veja que o termo geral da série em função da variável n , o a_n , já foi dado para gente. A saber,

a_n = (1)/(n + 3^n)

Como n > 0 e 3^n > 0 , segue que n + 3^n > 3^n > 0 e a série dada não é alternada.

A gente também sabe que, se a gente mantém o numerador constante (igual a 1, neste problema) e diminui o denominador, a fração se torna maior. Dessa forma, a gente conclui que:

(1)/(n + 3^n) < (1)/(3^n) = ((1)/(3))^n

E que o melhor método para se utilizar nesta questão é o Teste da Comparação.

O Teste da Comparação diz o seguinte:

Dadas duas séries sum a_n e sum b_n de termos positivos:

  1. Se sum b_n for convergente e a_n <= b_n , para todo n , então sum a_n é convergente.
  2. Se sum a_n for divergente e a_n <= b_n , para todo n , então sum b_n é divergente.

Passo 2

Boa, pessoal! Já descobrimos qual é o melhor método para se resolver a questão. Além disso, nós já conseguimos fazer uma comparação entre os termos a_n = (1)/(n + 3^n) e b_n = ((1)/(3))^n . Basta verificarmos se sum b_n converge ou não.

Se sum b_n converge, então sum a_n , que foi dada, também converge. E este é o caso!

Passo 3

De fato, a série sum_(n = 1)^(oo) ((1)/(3))^n é uma série geométrica (soma de termos de uma progressão geométrica P.G.) com razão maior que zero e menor que 1 e nós sabemos que ela converge. Portanto, a série

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n + 3^n)

converge pelo Teste da Comparação.

Resposta

A série é convergente pelo Teste da Comparação.

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Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 1 n