Enunciado

Encontre as equação de ambas as retas pelo ponto ( 2 , - 3 ) que são tangentes à parábola y = x 2 + x .

Mostre que não existe nenhuma reta que passa pelo ponto ( 2,7 ) que seja tangente à parábola. A seguir desenhe um diagrama pra ver por quê.

Passo 1

Oii, vamos fazer essa questão! Na letra (a) o enunciado pela pra a gente encontrar as equações das retas tangentes à parábola y =   x 2 + x e que passam pelo ponto ( 2 ,   - 3 ) .

Antes de qualquer coisa a gente precisa se atentar a um fato! O ponto ( 2 ,   - 3 ) não pertence à parábola! Pois:

y = 2 2 + 2 = 6 ≠ - 3

Beleza, dito isso vamos pensar como resolver esse problema! Pra a gente calcular a equação da reta tangente fazemos:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

O m   é a derivada da parábola em um ponto x 0 , y 0 que a gente ainda não conhece. Temos que:

y ' = 2 x + 1

Vamos substituir ( 2 , - 3 ) e 2 x + 1 na equação da reta:

y + 3 = 2 x + 1 ( x - 2 )

y = 2 x 2 - 3 x - 5

Passo 2

Agora, a reta tangente tem um ponto em comum com a parábola, certo? Que é onde elas se interceptam.

Então podemos igualar essa equação que terminamos de achar com a equação da parábola pra descobrir qual valor de x elas tem em comum:

2 x 2 - 3 x - 5 = x 2 + x

x 2 - 4 x - 5 = 0

Chegamos em uma equação quadrática, vamos resolve-la:

x = 4 ± - 4 2 - 4 1 - 5 2

x = 4 ± 6 2

x 1 = 5

x 2 = - 1

Achamos dois valores pra x , isso significa que vamos ter duas retas tangentes à parábola que passam pelo ponto ( 2 , - 3 ) .

Passo 3

Podemos calcular os valores de y :

y =   x 2 + x

y 1 = 5 2 + 5 = 30

y 2 = - 1 2 + 1 = 0

Passo 4

Temos então os pontos 5 , 30 , - 1,0 . Podemos calcular m 1 e m 2 substituindo em:

m = y ' = 2 x + 1

m 1 = ( 2 × 5 ) + 1 = 11

m 2 = 2 × - 1 + 1 = - 1

Passo 5

Agora sim, montamos as equações das retas:

y - y 0 = m x - x 0

y - 30 = 11 x - 5

y = 11 x - 25

y - 0 = - 1 x + 1

y = - x - 1

Ufaaa, uma parte foi!

Passo 6

Agora vamos para a letra (b), temos que provar que não existe nenhuma reta que passa pelo ponto ( 2,7 ) que seja tangente à parábola.

Para isso vamos tentar achar uma reta que passa pelo ponto ( 2,7 ) que seja tangente à parábola! Vamos usar os mesmos passos que fizemos na letra (a), só que aqui vamos mais direto, beleza?

Substituindo o ponto e m na equação da reta:

y - y 0 = m x - x 0

y - 7 = 2 x + 1 ( x - 2 )

y = 2 x 2 - 3 x + 5

Agora igualamos com a parábola pra achar o ponto de intersecção:

2 x 2 - 3 x + 5 = x 2 + x

x 2 - 4 x + 5 = 0

x = 4 ± - 4 2 - 4 ( 1 ) ( 5 ) 2

x = 4 ± - 16 2

Opaaa...batemos em uma raíz negativa! É por isso que não existe uma reta tangente à parábola que passa por esse ponto! Afinal não existe uma solução para intersecção nos números reais!

Vamos dar uma olhada nas curvas:

Repara que o ponto ( 2,7 ) fica “dentro” da parábola! Realmente não teria como a gente ter uma reta tangente que passasse por esse ponto!

Resposta

y = 11 x - 25

y = - x - 1

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80. Esboce as parábolas y = x 2 e y = x 2 - 2 x + 2 . Você acha que existe uma reta que seja tangente a ambas as curvas? Em caso afirmativo, encontre sua equação. Em caso negativo, explique por que nã