Enunciado

Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado.

y = x 4 + 2 e x ,     0,2

Passo 1

E aí! como vai? 😁

Queremos encontrar as equações das retas tangente e normal no ponto ( 0,2 )   da curva dada por:

y =   x 4 + 2 e x

Vamos encontrar primeiro a equação da tangente, ela pode ser calculda por.

y -   y 0   = m   . x - x 0

Onde m é a inclinação da reta, ou seja, a derivada da equação y =   x 4 + 2 e x .

Já a equação da reta normal à curva é obtida a partir de

y - y 0 = - 1 m x - x 0

Veja só! 😁

Passo 2

Sabemos, também, que m = y ' 0,2 . Então, derivando y ( x ) teremos:

y =   x 4 + 2 e x → y ' =   4 x 4 - 1 + 2 e x

y ' = 4   x 3   + 2 e x

Assim, como o ponto de tangência é x 0   ,       y 0   = 0,2   , então:

m =   4   x 0 3 + 2   e x 0 = 4   0 3   + 2   e 0

m = 2  

Portanto, a equação da reta tangente à curva y =   x 4 + 2 e x no ponto ( 0,2 ) será:

y - 2 = 2 .   x - 0

y = 2 + 2 x

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Sabe-se que da geometria analítica: m N =   - 1 m T (o coeficiente angular da reta normal é igual ao negativo do inverso do coeficiente angular da reta tangente).

Então, a equação da reta normal à curva no ponto ( 0,2 ) , conforme a equação de uma reta dada por ( i ) é:

y - 2 = - 1   2     .   x - 0

y = 2 - x 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

y = 2 + 2 x

y = 2 - x 2

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