Enunciado

Encontre uma equação para a reta normal a parábola y = x 2 - 5 x + 4 que seja paralela à reta x - 3 y = 5 .

Passo 1

E aí! como vai? 😊

Queremos encontrar a equação da reta normal à parábola dada por y =   x 2 - 5 x + 4 e que seja paralela à reta:

x - 3 y = 5   → y =   1 3 x - 5 3 .

Mas como a gente lida com a informação que a reta normal deve ser paralela à reta a cima?!

Muito bem, retas paralelas tem o mesmo coeficiente angular, ou seja:

m =   1 3

Da mesma forma, o coeficiente angular em um ponto pode ser relacionado como sendo a derivada de uma curva nesse ponto.

Veja só! 😬

Passo 2

Agora vamos a reta normal!

A inclinação da reta normal a uma curva em um ponto é o negativo do inverso da inclinação da tangente a essa curva no mesmo ponto.

Hãaam?! :SS

Isso quer dizer que:

m n = - 1 m T

A gente não conhece a reta normal, mas sabemos que ela é paralela à x - 3 y = 5 , portanto:

m n = m

m T = - 1 1 3 = - 3

Até agora sabemos que a tangente é assim:

y = - 3 x + b

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

A inclinação da reta tangente é igual a derivada de f ( x ) no ponto x , então temos:

m T = y ' x = - 3

Calculamos a derivada de y ( x ) :

y x = x 2 - 5 x + 4

y ' = 2 x - 5

Então:

m T = 2 x - 5 = - 3

x = - 3 + 5 2 = 1

Agora podemos achar o ponto de tangencia fazendo:

y = x 2 - 5 x + 4

y = 1 2 - 5 + 4 = 0

Assim, obtemos o ponto de tangência que é ( 1   ,   0 ) , na qual a reta normal que queremos saber passa por ele. A reta tangente será então:

y - 0 = - 3 ( x - 1 )

y = - 3 x + 3

Bacana, não é? 😇

Passo 4

Mas o que a gente quer é a reta normal, que vai ser:

y - 0 = 1 3 x - 1

y = 1 3 x - 1 3

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

y =   1 3 x - 1 3

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