Enunciado

Onde a reta normal à parábola y = x - x 2 no ponto 1,0 intercepta a parábola uma segunda vez? Ilustre com um esboço

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😉

Queremos saber em que ponto a reta normal à parábola dada por y = x -   x 2 , normal no ponto ( 1 ,   0 ) , a corta pela segunda vez.

Tem ideia de como fazemos isso? 😉

Vamos achar primeiro o coeficiente angular da reta tangente que passa por ( 1,0 ) .

Depois encontramos o coeficiente da reta normal sabendo que

m N = - 1 m T

E por ultimo obtermos a equação da reta normal

y - y 1 = m N x - x 1

Veja só! 😁

Passo 2

Seja m T o coeficiente da reta tangente a parábola no ponto ( 1 ,   0 ) .

Então, m T = y ' 1,0 . A derivada de y ( x ) é y ' = 1 - 2 x e, com isso, descobrimos o valor de m T :

m T = y ' 1,0 = 1 - 2.1 =   - 1

Sabe-se que o coeficiente angular da reta normal m N é dado por:

m N =   - 1 m T

m N =   - 1 - 1 = 1

Logo, a equação da reta normal será:

y - 0 =   m N   x - 1   →   y = 1 x - 1

y = x - 1

Basta, agora, fazer a interseção da parábola com essa reta normal para acharmos os pontos de interseção, assim:

y = y   → x - x 2 = x - 1

x 2 = 1

x =   ±   1  

Para x 1   = 1

y 1   = x 1 - 1 = 1 - 1

y 1 = 0

Obtemos o ponto ( 1,0 ) que já foi dado.

O segundo ponto que queremos achar é para x 2   =   - 1

y 2   = x 2 - 1 = - 1 - 1 =   - 2

e assim, obtemos o segundo ponto de interseção ( - 1 , - 2 ) .

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Esboçando o gráfico de y = x - 1 , y = x -   x 2 e y = - x + 1

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

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Mostre que as tangentes à curva y = π s e n x x em x = π e x = - π se cruzam formando ângulos retos.
Determine os pontos de interseção com os eixos x e y com a reta que é tangente à curva y = x 3 no ponto ( -2 ,-8 ) .
Encontre as equações para as retas que sejam tangentes e normais à curva no ponto dado. e x + y 2 = 2, ( 0 ,1 )
Encontre as equações para as retas que sejam tangentes e normais à curva no ponto dado. y - x 2 = 2 x + 4, ( 6 ,2 )
O gráfico apresentado sugere que a curva y = sen ⁡ x - sen ⁡ x tem tangentes horizontais no eixo x . Isso ocorre? Justifique sua resposta