Enunciado

Encontre as equações das tangentes à curva

x = 3 t 2 + 1

y = 2 t 3 + 1

Que passam pelo ponto ( 4,3 )

Passo 1

A inclinação da reta tangente à curva é dada por

d y d x = d y d θ d x d θ

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = 2 t 3 + 1

d y d t = 6 t 2

Agora a derivada de x :

x = 3 t 2 + 1

d x d t = 6 t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = 6 t 2 6 t = t

Passo 3

Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia ( 4,3 ) . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.

x = 3 t 2 + 1 = 4

y = 2 t 3 + 1 = 3

Da primeira equação tiramos que

t 2 = 1

t = ± 1

Da segunda equação, vemos que só

t = 1

É solução possível.

Substituindo no vetor tangente, temos:

d y d x = t = 1

Passo 4

Assim, a equação da reta tangente no ponto ( 4,3 ) fica:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 3 = 1 ( x - 4 )

y = x - 1

Resposta

y = x - 1

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