Enunciado

Desenhe as lemniscatas nos Exercícios 13-16. Quais simetrias essas curvas têm?

r 2 = - sen ⁡ 2 θ

Passo 1

Olá pessoal. Para fazermos curvas polares complicadas, iremos precisar de uma calculadora gráfica ou computador. Se o dispositivo não representa gráficos polares diretamente, podemos converter r = ƒ(u) para a forma paramétrica utilizando as equações:

x = r cos ⁡ θ = f θ cos ⁡ θ ,           y = r sen ⁡ θ = f θ sen ⁡ θ

Em seguida, utilizamos o dispositivo para desenhar uma curva parametrizada no plano cartesiano x y . Pode ser necessário utilizarmos o parâmetro t em vez de θ para o dispositivo de representação gráfica.

Exemplo: curva lemniscata r 2 = sen ⁡ 2 θ :

  1. Primeiramente esboçamos o gráfico r 2 = sen ⁡ 2 θ no plano r 2 θ e ignoramos os valores de θ para os quais sen ⁡ 2 θ é negativo:
  2. Agora iremos esboçar o gráfico de r = f θ no plano cartesiano r θ :
  3. E em seguida desenhamos o gráfico polar:

Passo 2

Porém podemos utilizar o programa computacional WolframAlpha, com a equação r 2 = - sen ⁡ 2 θ   conseguimos obter o seguinte gráfico:

Pelo gráfico podemos observar que há simetria na origem. Além disso, sabemos que a curva é simétrica em relação à origem porque:

r 2 = - sen ⁡ 2 θ

- r 2 = - sen ⁡ 2 θ

Resposta

A curva é simétrica em relação à origem.

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Esboce a curva com a equação polar dada, esboçando primeiro o gráfico de r em função de θ nas coordenadas cartesianas. r 2 θ = 1
Esboce a curva com a equação polar dada, esboçando primeiro o gráfico de r em função de θ nas coordenadas cartesianas r 2 θ = 1
Combine as equações polares com os gráficos com os gráficos I - V I . Dê os motivos das suas escolhas. (Não use ferramentas gráficas.) r = l n θ,1 ≤ θ ≤ 6 π ; r = θ 2 ,0 ≤ θ ≤ 8 π ; r = c o s 3 θ ; r
Combine as equações polares com os gráficos com os gráficos I - V I . Dê os motivos das suas escolhas. (Não use ferramentas gráficas.) r = l n θ,1 ≤ θ ≤ 6 π ; r = θ 2 ,0 ≤ θ ≤ 8 π ; r = c o s 3 θ ; r
Combine as equações polares com os gráficos com os gráficos I - V I . Dê os motivos das suas escolhas. (Não use ferramentas gráficas.) r = l n θ,1 ≤ θ ≤ 6 π ; r = θ 2 ,0 ≤ θ ≤ 8 π ; r = c o s 3 θ ; r