Enunciado

Encontre a integral indefinida geral.

int ((1 + r)/(r))^2 d r

Passo 1

Para calcular essa integral vamos manipular a expressão, vamos expandir:

int ((1 + r)/(r))^2 d r = int ((1 + r)^2)/(r^2) d r

Temos que a expressão ao quadrado é igual a:

(1 + r)^2 = 1 + 2 r + r^2

Vamos substituir isso na integral:

int ((1 + r)^2)/(r^2) d r = int (1 + 2 r + r^2)/(r^2) d r = int (1)/(r^2) + (2 r)/(r^2) + (r^2)/(r^2) d r = int (1)/(r^2) + (2)/(r) + 1 d r = int (1)/(r^2) d r + int (2)/(r) d r + int 1 d r

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(r^2) d r + int (2)/(r) d r + int 1 d r = int r^(- 2) d r + 2 int (1)/(r) d r + r + C = (r^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + 2 ln r + r + C = (r^(- 1))/(- 1) + 2 ln r + r + C = - (1)/(r) + 2 ln r + r + C

Resposta

int ((1 + r)/(r))^2 d r = - (1)/(r) + 2 ln r + r + C

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