Enunciado

25. int ( (x^2 + 4 x - 4)/(sqrt(x)) ) d x

Passo 1

Para integral proposta temos que primeiramente perceber que são três somas com o mesmo denominador, dessa forma podemos escrever a integral da seguinte maneira:

I = int ((x^2)/(sqrt(x)) + (4 x)/(sqrt(x)) - (4)/(sqrt(x))) d x

Passo 2

Vamos recordar da propriedade da radiciação que nos diz que uma raiz pode ser escrita em forma de potência. Aplicando essa propriedade encontramos a seguinte integral:

I = int ((x^2)/(x^((1)/(2))) + (4 x)/(x^((1)/(2))) - (4)/(x^((1)/(2)))) d x

Passo 3

Para conseguir prosseguir, precisamos lembrar da propriedade da potenciação e aplica-la a segunda parte da integral

(1)/(x^n) = x^(- n)

Agora verificamos que a integral tem uma forma bem mais simples do que a inicial:

I = int [ x^2 (x^(- (1)/(2))) + 4 x ( x^(- (1)/(2)) ) - 4 ( x^(- (1)/(2)) ) ] d x

I = int [ x^((3)/(2)) + 4 x^((1)/(2)) - 4 x^(- (1)/(2)) ] d x

Passo 4

Para resolução desta integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ int ( x^((3)/(2)) ) d x ] + [ int ( 4 x^((1)/(2)) ) d x ] - [ int (4 x^(- (1)/(2))) d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 5

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: int ( a x ) d x = a int (x) d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ int ( x^((3)/(2)) ) d x ] + [ 4 int ( x^((1)/(2)) ) d x ] - [ 4 int ( x^(- (1)/(2)) ) d x

Passo 6

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Agora que temos toda base teórica, vamos ao trabalho!!

I = [ int ( x^((3)/(2)) ) d x ] + [ 4 int ( x^((1)/(2)) ) d x ] - [ 4 int ( x^(- (1)/(2)) ) d x

I = ((x^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1)) + 4 ((x^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) - 4 ((x^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)) + c

I = ((x^((5)/(2)))/((5)/(2))) + 4 ((x^((3)/(2)))/((3)/(2))) - 4 ((x^((1)/(2)))/((1)/(2))) + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Resposta final:

I = ((2 x^((5)/(2)))/(5)) + ((8 x^((3)/(2)))/(3)) - (8 x^((1)/(2))) + c

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