25. ∫ ( x 2 + 4 x - 4 x ) d x

Passo 1

Para integral proposta temos que primeiramente perceber que são três somas com o mesmo denominador, dessa forma podemos escrever a integral da seguinte maneira:

I = ∫ x 2 x + 4 x x - 4 x d x

Passo 2

Vamos recordar da propriedade da radiciação que nos diz que uma raiz pode ser escrita em forma de potência. Aplicando essa propriedade encontramos a seguinte integral:

I = ∫ x 2 x 1 2 + 4 x x 1 2 - 4 x 1 2 d x

Passo 3

Para conseguir prosseguir, precisamos lembrar da propriedade da potenciação e aplica-la a segunda parte da integral

1 x n = x - n

Agora verificamos que a integral tem uma forma bem mais simples do que a inicial:

I = ∫ [ x 2 x - 1 2 + 4 x ( x - 1 2 ) - 4 ( x - 1 2 ) ] d x

I = ∫ [ x 3 2 + 4 x 1 2 - 4 x - 1 2 ] d x  

Passo 4

Para resolução desta integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ ∫ ( x 3 2 ) d x ] + [ ∫ ( 4 x 1 2 ) d x ] - [ ∫ 4 x - 1 2 d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 5

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: ∫ ( a x )   d x = a ∫ x d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ ∫ ( x 3 2 ) d x ] + [ 4 ∫ ( x 1 2 ) d x ] - [ 4 ∫ ( x - 1 2 ) d x

Passo 6

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = ∫ ( x n ) d x =   x n + 1 n + 1 + c      

Onde “n” é o expoente da variável.

Agora que temos toda base teórica, vamos ao trabalho!!

I = [ ∫ ( x 3 2 ) d x ] + [ 4 ∫ ( x 1 2 ) d x ] - [ 4 ∫ ( x - 1 2 ) d x

I = x 3 2 + 1 3 2 + 1 + 4 x 1 2 + 1 1 2 + 1 - 4 x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + c

I = x 5 2 5 2 + 4 x 3 2 3 2 - 4 x 1 2 1 2 + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Resposta final:

I = 2 x 5 2 5 + 8 x 3 2 3 - 8 x 1 2 + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados