Enunciado

Encontre a integral indefinida geral

int (1 + sqrt(x) + x)/(x) d x

Passo 1

Como alunos expertos que somos desejamos resolver a integral da forma mais simples possível e, para isso, vamos analisar o integrando de modo a tentar escrevê-lo da forma mais simples possível. Assim faremos

(1 + sqrt(x) + x)/(x) = (1)/(x) + (sqrt(x))/(x) + (x)/(x) = (1)/(x) + x^(((1)/(2) - 1)) + 1 = (1)/(x) + x^((- (1)/(2))) + 1

Dessa forma, nossa integral passa a ser escrita como

int (1)/(x) + x^((- (1)/(2))) + 1 d x = int (1)/(x) d x + int x^((- (1)/(2))) d x + int d x

Assim, ficamos com três integrais imediatas que podem ser resolvidas como

int (1)/(x) d x = l n | x | + C

int x^((- (1)/(2))) d x = 2 sqrt(x) + C

int d x = x + C

Então, nosso resultado final é a soma dos três resultados e será dado por

int (1)/(x) + x^((- (1)/(2))) + 1 d x = ln |x| + 2 sqrt(x) + x + C

Resposta

ln |x| + 2 sqrt(x) + x + C

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