Enunciado

a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.

b) Encontre os valores máximo e mínimos locais de f .

c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 4

Passo 1

Fala aí! como vai? 😁

Nesse problema foi dada a função f

f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 4

E nosso objetivo é determinar os intervalos em que f é crescente e decrescente, obter os valores máximos e mínimos locais e tambem os locais de concavidade e pontos de inflexão.

Bastante coisa, não é? 👀

Primeiramente para determinar os intervalos de máximos e mínimos de f calculamos f ' para os valores de x em que f ' > 0 , a função é crescente, e para f ' < 0 , a função é decresente.

Já para obter os máximos e mínimos locais, igualamos f ' = 0 e varificamos para quais valores de x a equação é satisfeita.

Agora para determinar as concavidades, calculamos f ' ' e para f ' ' > 0 a concavidade é para cima e f ' ' < 0 a concavidade é para baixo.

E por ultimo, para obter os pontos de inflexão, fazemos f ' ' = 0

Veja só! 😉

Passo 2

Para encontrar onde f é crescente ou decrescente vamos calcular a primeira derivada de f :

f ' x = 3 x 3 - 1 - 3 ⋅ 2 ⋅ x 2 - 1 - 9 + 0

f ' x = 3 x 2 - 6 x - 9

f ' x = 3 x - 3 x + 1

Vamos analisar os sinais de x - 3 e de x + 1 :

Temos que f é crescente quando f ' x > 0 , e isso acontece quando:

- ∞ , - 1 e 3 , ∞

E f é decrescente quando f ' x < 0 , e isso acontece quando:

- 1,3

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Vamos obter os pontos de máximo e mínimo fazendo f ' = 0

Se f ' x = 3 x - 3 x + 1

f ' x = 3 x - 3 x + 1 = 0

Nesse caso, como nossa função f ' está fatorada, fica mais fácil, os pontos são

x = 3

x = - 1

Para x = - 1 , temos

f - 1 = - 1 3 - 3 - 1 2 - 9 - 1 + 4

f - 1 = 9

Para x = 3 ...

f 3 = 3 3 - 3 3 2 - 9 3 + 4

f 3 = - 23

Portanto, como f - 1 > f 3 o ponto x = - 1 é ponto de máximo e x = 3 é ponto de mínimo.

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Vamos achar f ' ' x para encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão:

f ' ' x = 3 ⋅ 2 ⋅ x 2 - 1 - 6 - 0 = 6 x - 6

Para achar onde o gráfico de f é côncavo para cima temos que achar o intervalo onde f ' ' x > 0 :

f ' ' x > 0 → 6 x - 6 > 0 → x > 1

Então é côncava para cima em:

( 1 , ∞ )

E para achar onde o gráfico de f é côncavo para baixo temos que achar o intervalo onde f ' ' x < 0 :

f ' ' x < 0 → 6 x - 6 < 0 → x < 1

Então é côncava para baixo em:

( - ∞ , 1 )

Um ponto de inflexão acontece quando a concavidade da função troca de côncava para cima para côncava para baixo, e vice-versa, achamos esse ponto em f ' ' x = 0 :

f ' ' x = 0 → 6 x - 6 = 0 → x = 1

Vamos calcular f 1 para achar o ponto:

f 1 = 1 3 - 3 ⋅ 1 2 - 9 ⋅ 1 + 4 = 1 - 3 - 9 + 4 = - 7

Pronto, temos que o ponto de inflexão é 1 , - 7 .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😬

Resposta

a) Crescente em - ∞ , - 1 e 3 , ∞ , decrescente em - 1,3

b) x = - 1 é máximo local, x = 3 é mínimo local

c) Côncava para cima em ( 1 , ∞ ) , côncava para baixo em ( - ∞ , 1 ) , ponto de inflexão é 1 , - 7

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