Enunciado

Faça o gráfico da curva y = (2 x)/(x + 5)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = (2 x)/(x + 5)

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por x = - 5 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x != - 5 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f (x) = 0 , perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

2 x = 0 => x = 0

Sendo assim, x = 0 é uma raiz para f ( x ) ,ou seja,

f (0) = (2.0)/(0 + 5) = (0)/(5) = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f^' (x) = ((2) (x + 5) - (2 x) ( 1 ))/((x + 5)^2)

= (2 x + 10 - 2 x)/((x + 5)^2)

= (10)/((x + 5)^2)

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f^(' ') (x) = (- 10 . ( 1 ))/((x + 5)^4)

= - (10)/((x + 5)^4)

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^' (x) = (10)/((x + 5)^2) = 0

Perceba que independentemente do valor de x , f ' ( x ) nunca será zero, pois para que uma fração seja nula é necessário que o seu numerador seja zero. Sendo assim f^' ( x ) não possui pontos críticos.

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = - (10)/((x + 5)^4)

Pela mesma justificativa anterior, f^(' ') ( x ) nunca será zero. Sendo assim, f^(' ') ( x ) não possui pontos de inflexão.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> oo)(lim) f (x) = underset(x -> oo)(l i m) (2 x)/(x + 5) = underset(x -> oo)(l i m) ((2 x)/(x))/((x)/(x) + (5)/(x)) = underset(x -> oo)(l i m) (2)/(1 + (5)/(x)) = (2)/(1 + 0) = 2

Logo, f (x) possui uma assíntota horizontal em f ( x ) = 2 .

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = - 5 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

underset(x -> - 5^-)(lim) f (x) = oo e underset(x -> - 5^+)(l i m) f (x) = - oo

Logo, f (x) possui assíntotas vertical em x = - 5 .

Resposta

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Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua derivada em I-IV. Dê razões para suas escolhas.
Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .
Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .
Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .
Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .