Enunciado

Para qual (quais) valor( es) da constante m, se houver, a função,

f x = { s e n 2 x   ,       x ≤ 0 m x     ,       0 < x

  1. é contínua em x   =   0   ?
  2. é derivável em x   =   0   ?

Passo 1

  1. Para “forçar” a função a ser contínua em um ponto, sem usar o recurso do gráfico, precisamos achar os limites laterais e “fazer” serem iguais e iguais a função naquele ponto.
  2. Para forçar a função a ser derivável em um ponto, sem utilizar o recurso do gráfico, precisamos utilizar a definição de derivada e fazer com que, tanto pela esquerda quanto pela direita seja igual, além disso, a função deve ser contínua naquele ponto.

Passo 2

  1. lim x → 0 - ⁡ s e n 2 x = 0
  2. f 0 = 0

    lim x → 0 + ⁡ m x = 0

  3. Como s e n 2 x é derivável, sabemos que é “derivável pela esquerda”, e portanto, podemos usar as regras de derivada.

Para x ≤ 0 : f ' x = 2 c o s x , e portanto, para x → 0 - f ' x = 1

Devemos agora fazer a derivada pela direita:

lim x → x 0 + ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0

lim x → 0 + ⁡ m x - 0 x - 0 = m

Devemos igualar os dois valores de derivada achados, o “pela esquerda” e “pela direita”

Resposta

  1. É contínua para qualquer valor de m
  2. m = 1
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