Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = 2 - 12 x , f (0) = 9 , f (2) = 15

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ') ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, ficando com

f^(' ') (x) = 2 - 12 x

f^' (x) = 2 x - (12)/(2) x^2 + C = 2 x - 6 x^2 + C

Derivando f ' ( x ) , temos

f^(' ') (x) = 2 - 12 x

Dessa forma, f^' ( x ) é a antiderivada de f^(' ') ( x ) .

Encontrando agora a antiderivada de f^' ( x ) , temos

f^' (x) = 2 x - 6 x^2 + C

f (x) = (2)/(2) x^2 - (6)/(3) x^3 + C x + D = x^2 - 2 x^3 + C x + D

Derivando f ( x ) , temos

f^' (x) = 2 x - 6 x^2 + C

Dessa forma, f ( x ) é a antiderivada de f^' ( x ) .

Passo 3

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D . Aplicando f (0) = 9 , temos

f (x) = x^2 - 2 x^3 + C x + D

f (0) = 0^2 - 2 (0)^3 + C (0) + D

D = 9

Aplicando f (2) = 15 , temos

f (x) = x^2 - 2 x^3 + C x + D

f (2) = 2^2 - 2 (2)^3 + 2 C + 9

C = 9

Resposta

f (x) = x^2 - 2 x^3 + 9 x + 9

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