Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → 0 + ⁡ tan - 1 ⁡ ( ln ⁡ x )

Passo 1

Bom galera, pra esse problema a gente vai ter que fazer parte por parte e olhando o gráfico das funções, primeiro vamos separar:

A gente pode chamar o ln ⁡ x de a , então vamos:

lim a → b ⁡ tan - 1 ⁡ ( a )

E esse b vai ser o resultado do limite:

b = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x

Passo 2

Beleza, a gente usar o gráfico da função logarítmica pra encontrar b :

b = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x

O gráfico é:

Assim, a gente vê que quando x tende para 0 pela direita ela vai caindo infinitamente para - ∞ , logo:

b = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Passo 3

Pronto, a gente pode aplica dentro daquele limite inicial, fica:

lim a → b ⁡ tan - 1 ⁡ ( a ) → lim a → - ∞ ⁡ tan - 1 ⁡ ( a )

E a gente olha o gráfico da função inversa da tangente:

Assim a gente nota que quando a tender para - ∞ , a função vai se aproximar infinitamente de - π 2 , então:

lim a → - ∞ ⁡ tan - 1 ⁡ ( a ) = - π 2

Resposta

lim x → 0 + ⁡ tan - 1 ⁡ ( ln ⁡ x ) = - π 2

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