Enunciado

Encontre o limite

lim x → ∞ ⁡ x + x 3 + x 5 1 - x 2 + x 4

Passo 1

Opa, temos que calcular:

lim x → ∞ ⁡ x + x 3 + x 5 1 - x 2 + x 4

Se a gente só substituir x por , temos:

lim x → ∞ ⁡ x + x 3 + x 5 1 - x 2 + x 4 = ∞ - ∞

Que é uma indeterminação. Então vamos precisar fazer manipulações matemáticas.

Vou te dar uma dica! Quando temos várias potências de x somadas dessa forma, um jeito que costuma dar certo pra resolver, é dividir todos os termos pela maior potência de x que no caso é x 5 . Nesses casos, desconfie disso.

Vamos fazer isso e ver se resolve!

Passo 2

Dividindo tudo por x 5 :

lim x → ∞ ⁡ x x 5 + x 3 x 5 + x 5 x 5 1 x 5 - x 2 x 5 + x 4 x 5

Ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ 1 x 4 + 1 x 2 + 1 1 x 5 - 1 x 3 + 1 x

Agora, iremos aplicar a propriedade de divisão, que o limite da divisão é a divisão dos limites:

lim x → ∞ ⁡ 1 x 4 + 1 x 2 + 1 1 x 5 - 1 x 3 + 1 x = lim x → ∞ ⁡ 1 x 4 + 1 x 2 + 1 l i m x → ∞ 1 x 5 - 1 x 3 + 1 x

E o limite da soma é a soma dos limites:

lim x → ∞ ⁡ 1 x 4 + 1 x 2 + 1 l i m x → ∞ 1 x 5 - 1 x 3 + 1 x = l i m x → ∞ 1 x 4 + l i m x → ∞ 1 x 2 + l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ 1 x 5 - l i m x → ∞ 1 x 3 + l i m x → ∞ 1 x

E o limite de uma constante é a própria constante:

l i m x → ∞ 1 x 4 + l i m x → ∞ 1 x 2 + l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ 1 x 5 - l i m x → ∞ 1 x 3 + l i m x → ∞ 1 x = l i m x → ∞ 1 x 4 + l i m x → ∞ 1 x 2 + 1 l i m x → ∞ 1 x 5 - l i m x → ∞ 1 x 3 + l i m x → ∞ 1 x

Ufa! Após aplicar as propriedades, iremos substituir o valor do limite em cada termo. Lembrando que, no limite, um número finito dividido por infinito dá zero:

l i m x → ∞ 1 x 4 = l i m x → ∞ 1 x 2 = l i m x → ��� 1 x 5 = l i m x → ∞ 1 x 3 = l i m x → ∞ 1 x = 0

E é por isso que dividimos pela maior potência, porque assim, anulamos vários termos que davam problema:

l i m x → ∞ 1 x 4 + l i m x → ∞ 1 x 2 + 1 l i m x → ∞ 1 x 5 - l i m x → ∞ 1 x 3 + l i m x → ∞ 1 x ≈ 0 + 0 + 1 0 - 0 + 0 ≈ ∞

Prontinho!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x + x 3 + x 5 1 - x 2 + x 4 = ∞

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Calculea ) underset(x - + oo)(lim) ( x^4 - 3 x + 2 )
Calculed ) underset(x - + oo)(lim) [ x - sqrt(3 x^3 + 2) ]
Calculeh ) underset(x - + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^(2 x)
Calculed . underset(x - + oo)(lim) (1 + (2)/(x))^(x + 1)
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