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Nos exercícios de 21 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

38 )   lim y → 4 ⁡ 2 y ³ - 11 y 2 + 10 y + 8 3 y ³ - 17 y 2 + 16 y + 16

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando y está se aproximando de 4, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f y = 2 y ³ - 11 y 2 + 10 y + 8 3 y ³ - 17 y 2 + 16 y + 16 = y - 4 . ( 2 y 2 - 3 y - 2 ) ( y - 4 ) ( 3 y 2 - 99 20 y - 81 20 ) = ( 2 y 2 - 3 y - 2 ) ( 3 y 2 - 99 20 y - 81 20 )

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Então precisamos resolver:

l i m y → 4   ( 2 y 2 - 3 y - 2 ) ( 3 y 2 - 99 20 y - 81 20 )

Pelo Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

l i m y → 4   ( 2 y 2 - 3 y - 2 ) ( 3 y 2 - 99 20 y - 81 20 ) = l i m y → 4   ( 2 y 2 - 3 y - 2 ) l i m y → 4   ( 3 y 2 - 99 20 y - 81 20 )

Pelo Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

E 6:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x . g ( x ) = L . M

l i m y → 4   ( 2 y 2 - 3 y - 2 ) l i m y → 4   ( 3 y 2 - 99 20 y - 81 20 ) = l i m y → 4   2 . l i m y → 4 y 2 - l i m y → 4   3 y + 2 l i m y → 4   3 . l i m y → 4 y 2 - l i m y → 4   99 20 y + 81 20

Pelo Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m y → 4   3 y + 2 = 3.4 + 2 = 14

l i m y → 4   99 20 y + 81 20 = 99 20 . 4 + 81 20 = 23,85

Pelo Teorema 2:

l i m y → 4   2 = 2

l i m y → 4   3 = 3

Usando o Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n

l i m y → 4 y = 4

l i m y → 4 y 2 = 16

Concluindo:

l i m y → 4   2 . l i m y → 4 y 2 - l i m y → 4   3 y + 2 l i m y → 4   3 . l i m y → 4 y 2 - l i m y → 4   99 20 y + 81 20 =   2.16 - 14 3.16 - 23,83 = 18 24,17 ≅ 0,75

Resposta

lim y → 4 ⁡ 2 y ³ - 11 y 2 + 10 y + 8 3 y ³ - 17 y 2 + 16 y + 16 ≅ 0,75

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