Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe.

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

Passo 1

Fala galera, tranquilo?

Primeira coisa a fazer é substituir e ver o que dá. Usando propriedades dos limites, vemos que:

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x + lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 2 x

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x = - ∞ + + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x = ∞ - ∞

O que é um tipo de indeterminação! Portanto vamos tentar modificar essa função pra removê-la, ok? Uma boa estratégia vai ser tentar eliminar a raiz, e é isso mesmo que faremos!

Passo 2

Para resolver esse limite, iremos multiplicar e dividir a função por x - x 2 + 2 x , o conjugado da função dentro do limite:

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x ∙ x - x 2 + 2 x   x - x 2 + 2 x

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x ∙ x - x 2 + 2 x   x - x 2 + 2 x

Pro numerador, podemos usar o produto notável:

a - b a + b = a 2 - b 2

E encontrar:

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 - x 2 + 2 x 2   x - x 2 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 - x 2 + 2 x   x - x 2 + 2 x =

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 - x 2 - 2 x   x - x 2 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ - 2 x   x - x 2 + 2 x

Vamos partir desse último cara então, ok?

Passo 3

Se substituirmos o limite que ficamos por último, ainda da indeterminação. Uma forma de remover ela é tirar o x do termo - 2 x . Pra isso, vamos por, em cima e em baixo, o x em evidência:

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ - 2 x   x - x 2 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x ∙ - 2 x ∙ 1 - 1 x ∙ x 2 + 2 x

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x = lim x → - ∞ ⁡ - 2 1 - 1 x ∙ x 2 + 2 x

O problema ainda não foi resolvido, isso porque o termo 1 x ∙ x 2 + 2 x ao fazer o limite também vai dar uma indeterminação, dessa vez do tipo ∞ ∞ . Colocando x 2 em evidência de novo, só que dentro da raiz, temos:

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ - 2 1 - 1 x ∙ x 2 1 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ - 2 1 - 1 x ∙ x 2 ∙ 1 + 2 x

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ - 2 1 - x x ∙ 1 + 2 x

Como x → - ∞ , podemos substituir o módulo de x por - x e ficar com:

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ - 2 1 + x x ∙ 1 + 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ - 2 1 + 1 + 2 x

Será que agora a indeterminação some? Pela propriedade das integrais, esse limite será igual a:

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

= - 2 1 + 1 + lim x → - ∞ ⁡ 2 x

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

= - 2 1 + 1 + 0

= - 2 1 + 1 = - 2 2 = - 1

Resolvidasso!

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x = - 1 = - 1

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