Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo.. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique o porquê.

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 x 1 / x

Passo 1

Eaeee, belezinha? Bom...Devemos calcular o limite da forma que julgarmos mais conveniente, inclusive usando a regra de L’Hospital se for possível.

Uma dica importante que eu dou: só use a regra de L’Hospital se ela realmente simplificar o seu problema, ela é uma regra fantástica que faz você se apaixonar, mas se viciar nela é um problema!

Lembrando que a Regra de L’Hospital é aplicada somente quando houver limites indeterminados de funções.

Em outras palavras, essa regra é aplicada quando o limite resultar em algo do tipo:

0 0 e ∞ ∞

Assim, deveremos derivar o numerador e o denominador do limite para proceder com a resolução do limite.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Antes de efetivamente calcular o limite, vamos usar o fato que y = e ln ⁡ y :

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 x 1 / x = lim x → 0 ⁡ e l n 1 - 2 x 1 / x = e lim x → 0 ⁡ l n 1 - 2 x 1 / x

Assim, o que devemos realmente calular é

lim x → 0 ⁡ l n 1 - 2 x 1 / x = lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ 1 - 2 x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( 1 - 2 x ) x

Note que isto é uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos usar a regra de L’Hospital!!!

Passo 3

Como podemos aplicar a regra, vamos derivar tanto o numerador como o denominador:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( 1 - 2 x ) x = lim x → 0 ⁡ - 2 / 1 - 2 x 1 = lim x → 0 ⁡ - 2 1 - 2 x = - 2

Assim,

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 x 1 / x = e - 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 x 1 / x = e - 2

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Calcule o limite, se existir. lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x
Calcule o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ 1 + sinh ⁡ x 2 x