Enunciado

Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.

lim x → π 2 - ⁡ c o s x sec ⁡ 5 x =  

Passo 1

Vamos aplicar o limite para ver se já tá na cara de l’Hospital, para a gente poder usar,ou se não, a gente fazer a mudança necessária, beleza?

Vamos lá !

lim x → π 2 - ⁡   c o s x   s e c ⁡ ( 5 x ) = 0 ⋅ ∞

Não podemos aplicar l’Hospital, pois ele só é usado em indeterminações da forma 0 0 ou ∞ ∞ .

Então vamos tentar deixar nossas contas com essa cara.

Passo 2

A gente tem que tornar nosso limite um quociente. Parece difícil né ? Mas não!

É só a gente lembrar de uma paradinha ( não é de Anitta) , mas é a seguinte

s e c x = 1 c o s x

A gente tá com o lado direito da igualdade, então vamos aplicar a regrinha que vai ajudar e nossa contas. Partiu!

lim x → π 2 - ⁡ c o s x sec ⁡ 5 x =   l i m x → π 2 - c o s x cos ⁡ 5 x

Passo 3

Agora vamos ver se já podemos usar L’Hospital . Como

l i m x → π 2 - c o s x c o s ⁡ ( 5 x ) = 0 0

Então vale L’Hospital . Daí,

l i m x → π 2 - c o s x cos ⁡ 5 x = l i m x → π 2 - - s e n x - 5 s e n 5 x

Arrumando ,

l i m x → π 2 - - s e n x - 5 s e n 5 x = l i m x → π 2 - s e n x 5 s e n 5 x = 1 5

Resposta

lim x → π 2 - ⁡   c o s x   s e c ⁡ ( 5 x ) = 1 5

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Calcule o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ 1 + sinh ⁡ x 2 x
Calcule o limite, se existir. lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x e x 2 2 4 x 4
Se f x = x + 1 ( ln ⁡ k ) / x ,s ex ≠ 0 5 ,s ex = 0 , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .
Se f x = 1 - e 4 x x ,s ex0 k ,s e0 ≤ x , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .
Se lim x → + ∞ ⁡ n x + 1 n x - 1 x = 9 , ache n .