Enunciado

Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.

l i m x → 0 1 + 2 x - 1 - 4 x x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

l i m x → 0 1 + 2 x - 1 - 4 x x

Para isso, a questão quer que usemos a regra de L’Hôspital quando for apropriado.

Mas que regra é essa??

A Regra de L'Hôpital é uma técnica no cálculo diferencial que é utilizada para avaliar limites indeterminados do tipo 0 / 0 ​ ou ∞ / ∞ .

Se a gente tiver indeterminação desse tipo, temos que derivar o numerador e o denominador da função e prosseguir aplicando o limite.

E aí?? Bora aplicar?? 😉 ​

Passo 2

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

l i m x → 0 1 + 2 x - 1 - 4 x x = 1 + 2 * 0 - 1 - 4 * 0 0 ∴

l i m x → 0 1 + 2 x - 1 - 4 x x = 1 - 1 0 ∴

l i m x → 0 1 + 2 x - 1 - 4 x x = 0 0

Já podemos aplicar L’Hôspital pois o nosso limite tem a forma 0 0 .

Passo 3

Vimos que o limite tá na forma correta, beleza? Então vamos aplicar L’Hôspital derivando o numerador e o denominador:

l i m x → 0 1 + 2 x - 1 - 4 x ' x ' = l i m x → 0 1 2 1 + 2 x - 1 2 ⋅ 2 - 1 2 1 - 4 x - 1 2 ⋅ - 4

Arrumando as contas:

l i m x → 0 1 2 1 + 2 x - 1 2 ⋅ 2 - 1 2 1 - 4 x - 1 2 ⋅ - 4 =   l i m x → 0 1 1 + 2 x + 2 1 - 4 x

Tomando o limite:

l i m x → 0 1 1 + 2 x + 2 1 - 4 x = 1 1 + 2 1 ∴

l i m x → 0 1 1 + 2 x + 2 1 - 4 x = 3

Entendeu direitinho? Responde aee 😉

Resposta

l i m x → 0 1 + 2 x - 1 - 4 x x = 3  

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Calcule o limite, se ele existir. lim x → 0 ⁡ t g h2 x t g hx .
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Calcule o limite, se ele existir. lim t → 0 ⁡ s e n ² t s e nt ² ² ².