Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x

Passo 1

Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:

L = lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x

Se fizermos x = 0 + :

L = 0 × ln ⁡ 0 +

Isto é,

L = 0 × - ∞

Opa, chegamos numa indeterminação o tipo 0 × - ∞ . Assim, vamos arrumar nosso limite para aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

L = lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x

Passando o l n ( x ) para baixo:

L = lim x → 0 + ⁡ s e n x 1 s e n x

Se fizermos x = 0 + :

L 2 = - ∞ ∞

Agora sim podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Vem comigo!

Passo 3

L = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x

Isto é,

L = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x c o s s e c ⁡ ( x )

Aplicando a Regra de L’Hospital:

L = lim x → 0 + ⁡ 1 x - c o s s e c x c o t g x

Assim,

L = lim x → 0 + ⁡ - s e n 2 x x c o s x

Agora vamos separar o limite da seguinte maneira:

L = - lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x ⋅ lim x → 0 + ⁡ 1 cos ⁡ x

Passo 4

Pra finalizar, iremos resolver esses limites separadamente. Como o segundo é mais simples, vamos começar com ele:

L 2 = lim x → 0 + ⁡ 1 cos ⁡ x

Fazendo x → 0 + :

L 2 = 1 cos ⁡ 0 = 1

E o primeiro limite fica:

L 1 = lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x 2

Multiplicando em cima e em baixo por x para aparecer o limite fundamental:

L 1 = lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x 2 ⋅ x

Logo,

L 1 = lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x 2 ⋅ lim x → 0 + ⁡ x

Como lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1 :

lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x 2 = 1 2

E por fim,

lim x → 0 + ⁡ x = 0

Juntando tudo:

L 1 = 0

Voltando para nosso limite L :

L = L 1 ⋅ L 2 = 0 ⋅ 1

Portanto,

L = 0

Resposta

L = 0

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