Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 40
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:
Se fizermos :
Isto é,
Opa, chegamos numa indeterminação o tipo . Assim, vamos arrumar nosso limite para aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 2
Passando o para baixo:
Se fizermos :
Agora sim podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Vem comigo!
Passo 3
Isto é,
Aplicando a Regra de L’Hospital:
Assim,
Agora vamos separar o limite da seguinte maneira:
Passo 4
Pra finalizar, iremos resolver esses limites separadamente. Como o segundo é mais simples, vamos começar com ele:
Fazendo :
E o primeiro limite fica:
Multiplicando em cima e em baixo por para aparecer o limite fundamental:
Logo,
Como :
E por fim,
Juntando tudo:
Voltando para nosso limite :
Portanto,