Enunciado

Encontre os limites quando x → ∞ e quando x → - ∞ . Use essa informação, bem como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 11.

y = 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2

Passo 1

Opa, tudo bom?! Temos a curva:

y = 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2

E queremos calcular os limites:

lim x → ∞ ⁡ 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2

Pra calcular esses limites vamos lembrar que o limite de um produto é o produto dos limites, assim:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x × lim x → a ⁡ g x

Depois a gente vai os limites pra esboçar o gráfico de y ! Vamos também calcular os pontos onde a curva intercepta os eixos x e y !

Passo 2

Vamos começar com:

lim x → ∞ ⁡ 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2

Podemos escrever:

lim x → ∞ ⁡ 1 - x × lim x → ∞ ⁡ x - 3 × lim x → ∞ ⁡ x - 3 × lim x → ∞ ⁡ x - 5 lim x → ∞ ⁡ x - 5

Então:

lim x → ∞ ⁡ 1 - x × lim x → ∞ ⁡ x - 3 2 × lim x → ∞ ⁡ x - 5 2

Agora, calculando os limites individualmente:

lim x → ∞ ⁡ 1 - x = - ∞

lim x → ∞ ⁡ x - 3 2 = ∞

lim x → ∞ ⁡ x - 5 2 = ∞

Então:

lim x → ∞ ⁡ 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2 = - ∞

Passo 3

Agora vamos calcular:

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2

Olhando pra cada limite individualmente:

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x - 3 2 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x - 5 2 = ∞

Então:

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2 = ∞

Passo 4

Show, bora começar a pensar no esboço do gráfico?!

y = 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2

Teremos um produto de 3 parcelas, então y = 0 quando qualquer uma dessas parcelas for igual a zero. Assim temos:

x = 1

x = 3

x = 5

Agora vamos calcular quando a curva toca o eixo y . Isso acontece quando x = 0 :

y = 1 - 0 ( 0 - 3 ) 2 0 - 5 2 = 9 × 25 = 225

Então temos os pontos 1 , 0 , 3 , 0 ,   5 , 0 ,   0,2 25 .

Passo 5

Agora a gente vai pensar nas informações que a gente tem! Trazendo a função pra pertinho da gente também:

y = 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2

  • Pra valores de x muito grandes e negativos o y vai pra infinito;
  • Podemos separar o x em intervalos separando por cada vez que a curva toca o eixo x e pensar nos sinais de y :
  • - ∞ < x < 1 ,   y > 0

    1 < x < 3 ,   y < 0

    3 < x < 5 ,   y < 0

    5 < x < ∞ < 0

  • A curva sai de x e y infinito e em x = 1 a curva intercepta o eixo x e y troca de sinal;
  • Em x = 1 e x = 3 a curva toca o eixo x e o y é negativo em todo o intervalo, então podemos deduzir que y decresce, chega a um mínimo e depois cresce até tocar o eixo x ;
  • Como y continua negativo, então pra 3 < x < 5 a curva de novo, decresce, chega em um mínimo e cresce de novo até tocar no eixo x em x = 5 .
  • Para x > 5 o y decresce e à medida que x cresce y tende a - ∞ .
  • Para x > 3   temos um y > 0 . Então podemos inferir que em 1 < x < 3 o x descrece, chega a um mínimo e depois volta a crescer, tocando o eixo x em x = 3 .
  • A medida que x cresce, y vai pra infinito!
  • Quando calculamos os limites a gente viu que o x tendia pra infinito mas o y era a multiplicação de 5 infinitos. Isso significa que o y sempre vai pra infinito mais rápido que o x .

Passo 6

Só pra fazer um esboço mais bacana vamos calcular os pontos no meio dos intervalos:

1 < x < 3

3 < x < 5

Então:

y = 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2

Substituindo e calculando:

y 2 = 1 - 2 ( 2 - 3 ) 2 2 - 5 2 = - 9

y 4 = 1 - 4 ( 4 - 3 ) 2 4 - 5 2 = - 3

Não podemos cravar com certeza que o pontos mínimos ficam em x = 2 e x = 4 . Essa é só uma estimativa pra podemos saber qual ponto mínimo é mais negativo!

Passo 7

Finalmente podemos plotar a nossa curva:

Prontinho!!!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2 = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2 = ∞

Esboço do gráfico.

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