Enunciado

Prove que se underset(x -> a)(lim) f (x) existir e for L , então underset(x -> a)(lim) |f (x)| existe e é |L| .

Passo 1

Usando a Definição 2.1.1 para provar o limite de f (x) temos que

Se 0 < |x - a| < delta , então |f (x) - L| < ϵ

Passo 2

Para fazermos a prova da afirmação do enunciado vamos utilizar da desigualdade triangular que no caso será.

||f (x)| - |L|| <= |f (x) - L|

Como |f (x)| está definido para os mesmos números que f (x) podemos então dizer que

Se 0 < |x - a| < delta , então ||f (x)| - |L|| <= |f (x) - L| < ϵ

Se 0 < |x - a| < delta , então ||f (x)| - |L|| < ϵ

E como o underset(x -> a)(lim) f (x) = L existe, então teremos que underset(x -> a)(lim) |f (x)| = |L| . Desta forma é provado que se underset(x -> a)(lim) f (x) existir e for L , então underset(x -> a)(lim) |f (x)| existe e é |L|

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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43-46. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em + ∞ . Encontre um número positivo N tal que f x - Lϵ se xN .44. lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 2 = 0 ;ϵ = 0,005
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59-64. Use as Definições 1.4.4 ou 1.4.5 para provar que o limite dado está correto.63. lim x → 0 ⁡ - 1 x 4 = - ∞