Enunciado

Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ .

D   é   l i m i t a d a   p o r   y = 1 - x 2   e     y = 0 ; ρ x , y = k y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Bom... Temos que encontrar a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D quando a função densidade é ρ x , y = k y .

Os limites de y são de 0 a 1 - x 2 . Vamos encontrar os limites de x :

1 - x 2 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Passo 2

Agora que sabemos os limites podemos limitar a nossa integral. A massa da lâmina é dada por:

m = ∬ D ρ x , y d A

Observando novamente a figura podemos dizer que:

D = - 1 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 - x 2

A nossa integral vai ser:

m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 k y d y d x

Resolvendo primeiro a integral de dentro temos:

∫ 0 1 - x 2 k y d y = k y 2 2 0 1 - x 2

∫ 0 1 - x 2 k y d y = k 1 - x 2 2 2 - 0 2 2

∫ 0 1 - x 2 k y d y = k 2 1 + 4 x 4 - 2 x 2

Substituindo na integral de fora, temos:

m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 k y d y d x = ∫ - 1 1 k 2 1 + 4 x 4 - 2 x 2 d x

Resolvendo, temos:

m = ∫ - 1 1 k 2 1 + 4 x 4 - 2 x 2 d x = k 2 x + 4 x 5 5 - 2 x 3 3 - 1 1

m = k 2 1 + 1 5 - 2 3 - - 1 - 1 5 + 2 3

m = 16 k 30 = 8 k 15

Portanto a massa da lâmina é:

m = 8 k 15

Passo 3

O centro de massa da lâmina que ocupa a região D e que possui função de densidade ρ x , y é:

x - = M x m = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

y - = M y m = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Resolvendo x - , temos:

x - = 1 8 k 15 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 x k y d y d x

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 x k y d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 k x y 2 2 0 1 - x 2   d x

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 k x 1 - x 2 2 2   d x

x - = 15 k 8 k ∫ - 1 1 x 1 + x 4 - 2 x 2 2   d x

Agora a integral de fora:

x - = 15 8 x 2 2 + x 6 6 - 2 x 4 4 - 1 1

x - = 15 8 1 2 + 1 6 - 1 2 - 1 2 + 1 6 - 1 2

x - = 0

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para encontrar y - , resolver:

y - = M y m = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

y - = 1 8 k 15 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 y k y d y d x

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 y k y d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 k y 3 3 0 1 - x 2   d x

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 k 1 - x 2 3 3   d x

x - = 15 k 8 k ∫ - 1 1 1 3 1 - 3 x 2 + 3 x 4 - x 6   d x

Agora a integral de fora:

x - = 15 24 x - x 3 + 3 5 x 5 - x 7 7 - 1 1

x - = 15 24 1 - 1 + 3 5 - 1 7 - - 1 + 1 - 3 5 + 1 7

y - = 15 24 32 35

y - = 4 7

Portanto o centro de massa é o ponto:

0 , 4 7

Resposta

m = 8 k 15

x - ,   y - = 0 , 4 7

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