Enunciado

Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a

∫ π / 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ

Passo 1

A parte de calcular é a mais fácil desta questão. Basta vocês integrarem a função e aplicarem o teorema fundamental do cálculo da mesma forma que vêm trabalhando até agora! Agora, o esboço da região é mais complicado.

Para esta questão estaremos utilizando softwares para nos ajudar a esboça-la. Caso possua dificuldades na interpretação das funções em coordenadas polares, pode modificar as funções para coordenadas cartesianas, para conseguir analisa-las!

Para esta nossa questão, o valor do raio varia de 0 até 2 sin ⁡ θ . A curva r = 2 sen ⁡ θ corresponde a uma circunferência centrada no eixo y . Para facilitar a identificação, a função pode ser transformada novamente para coordenadas cartesianas, para isto, basta fazer:

r = 2 sin ⁡ θ

x 2 + y 2 = 2 y x 2 + y 2  

x 2 + y 2 = 2 y

x 2 + y 2 - 2 y = 0

x 2 + y - 1 2 = 1

Sempre podemos fazer o caminho inverso! Como teta varia de π / 2 até π , o que corresponde a todo o segundo quadrante, temos a seguinte figura:

Passo 2

Agora, vamos resolver a nossa integral. Portanto,

∫ π / 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ = ∫ π / 2 π   r 2 2 0 2 sen ⁡ θ d θ

∫ π 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ = ∫ π 2 π   2 sen 2 ⁡ θ d θ

Agora vamos usar cosseno de arco duplo

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ

Como temos seno ao quadrado na nossa integral, podemos usar a relação fundamental da trigonometria

1 = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

Subtraindo essas duas relações

1 - cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = 2 s e n 2 θ

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Voltando pra nossa integral

∫ π 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ = ∫ π 2 π   2 sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ π / 2 π   1 - cos ⁡ 2 θ d θ

∫ π 2 π   1 - cos ⁡ 2 θ d θ = θ - sen ⁡ 2 θ π 2 π = π - s e n 2 π - π 2 - s e n π

Finalmente!

∫ π 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ = π 2

Resposta

∫ π / 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ = π 2

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Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas (veja a Seção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área da superfície da porção do paraboloide z = x 2 + y 2 que está acima do quadrado 0,1 × 0
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = 1 + 3 ⋅ x + 2 ⋅ y 2 que está acima do triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (2,1).
Determine a área da superfície.A parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y .
Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte da superfície z = 1 + x 2 ⋅ y 2 que está acima do disco x 2 + y 2 ≤ 1 .
Determine a área da superfície.A parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 que está acima do retângulo com vértices (0,0), (4,0), (0,2) e (4,2).