Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 6
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a
Passo 1
A parte de calcular é a mais fácil desta questão. Basta vocês integrarem a função e aplicarem o teorema fundamental do cálculo da mesma forma que vêm trabalhando até agora! Agora, o esboço da região é mais complicado.
Para esta questão estaremos utilizando softwares para nos ajudar a esboça-la. Caso possua dificuldades na interpretação das funções em coordenadas polares, pode modificar as funções para coordenadas cartesianas, para conseguir analisa-las!
Para esta nossa questão, o valor do raio varia de 0 até . A curva corresponde a uma circunferência centrada no eixo . Para facilitar a identificação, a função pode ser transformada novamente para coordenadas cartesianas, para isto, basta fazer:
Sempre podemos fazer o caminho inverso! Como teta varia de até , o que corresponde a todo o segundo quadrante, temos a seguinte figura:
Passo 2
Agora, vamos resolver a nossa integral. Portanto,
Agora vamos usar cosseno de arco duplo
Como temos seno ao quadrado na nossa integral, podemos usar a relação fundamental da trigonometria
Subtraindo essas duas relações
Voltando pra nossa integral
Finalmente!