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Encontre os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma verramenta gráfica, trace a curva.

x = 2 t 3 + 3 t 2 - 12 t

y = 2 t 3 + 3 t 2 + 1

Passo 1

Bom, ele nos deu a expressão de x e y em função de t , como sabemos a reta tangente é horizontal é obtida quando

d y d t = 0

E a reta tangente vertical é obtida quando

d x d t = 0

Então, vamos achar essas derivadas, igualar a zero para encontrar os valores de t em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva ( x e y ) para encontrar os pontos correspondentes.

Passo 2

Vamos começar por quando a reta tangente é horizontal.

y = 2 t 3 + 3 t 2 + 1

d y d t = 6 t 2 + 6 t = 0

6 t t + 1 = 0

Para termos essa igualdade, temos duas possibilidades, ou:

6 t = 0

Ou

t + 1 = 0

No caso em que:

6 t = 0

t = 0

No caso em que:

t + 1 = 0

t = - 1

Então temos uma reta tangente horizontal, quando t = - 1 ou quando t = 0 .

Passo 3

Substituindo t = 0 na parametrização da curva, temos:

x = 2 t 3 + 3 t 2 - 12 t

x 0 = 2 . 0 3 + 3 . 0 2 - 12.0 = 0

y = 2 t 3 + 3 t 2 + 1

y 0 = 2 . 0 3 + 3 . 0 2 + 1 = 1

Logo descobrimos o ponto:

P 1 = ( 0,1 )

Agora substituindo t = - 1 , temos:

x = 2 t 3 + 3 t 2 - 12 t

x - 1 = 2 . - 1 3 + 3 . - 1 2 - 12 . - 1 = 13

y = 2 t 3 + 3 t 2 + 1

y - 1 = 2 . ( - 1 ) 3 + 3 . ( - 1 ) 2 + 1 = 2

Portanto, a reta tangente é horizontal no ponto:

P 2 = ( 13,2 )

Temos dois pontos nos quais as retas tangentes a curva são horizontais:

P 1 = ( 0,1 )

P 2 = ( 13,2 )

Passo 4

Agora vamos descobrir quando a reta tangente é vertical.

x = 2 t 3 + 3 t 2 - 12 t

d x d t = 6 t 2 + 6 t - 12 = 0

6 t 2 + 6 t - 12 = 0

Dividindo os dois lados por 6, nós temos a seguinte equação do segundo grau:

t 2 + t - 2 = 0

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:

t = - 1 ± 1 2 - 4.1 . - 2 2.1

t = - 1 ± 9 2 = - 1 ± 3 2

Temos dois valores possíveis:

t = - 1 + 3 2 = 1

t = - 1 - 3 2 - 2

Passo 5

Agora vamos substituir os valores que encontramos para t para encontrar os pontos onde as retas tangentes são verticais.

Substituindo t = 1 na parametrização da curva, temos:

x = 2 t 3 + 3 t 2 - 12 t

x 1 = 2 . ( 1 ) 3 + 3 . ( 1 ) 2 - 12 . 1 = - 7

y = 2 t 3 + 3 t 2 + 1

y 1 = 2 . ( 1 ) 3 + 3 . ( 1 ) 2 + 1 = 6

Assim encontramos o ponto:

P 3 = ( - 7,6 )

Agora substituindo t = - 2 , temos:

x = 2 t 3 + 3 t 2 - 12 t

x - 2 = 2 . - 2 3 + 3 . - 2 2 - 12 . - 2 = 20

y = 2 t 3 + 3 t 2 + 1

y - 2 = 2 . ( - 2 ) 3 + 3 . ( - 2 ) 2 + 1 = - 3

Portanto, a reta tangente é vertical nos ponto:

P 4 = ( 20 , - 3 )

Temos então dois pontos nos quais as retas tangentes a curva são verticais:

P 3 = ( - 7,6 )

P 4 = ( 20 , - 3 )

Passo 6

Bom, vamos plotar essa curva no Winplot também só pra você ver como é a cara doidinha dela e tentar imaginar as retas tangentes nos pontos que a gente achou aí na questão:

Resposta

A reta tangente é horizontal nos pontos

P 1 = ( 0,1 )

P 2 = ( 13,2 )

E vertical nos pontos

P 3 = ( - 7,6 )

P 4 = ( 20 , - 3 )

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