Enunciado

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Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f .

f x = x + 1 ,                                 x ≤ 1 1 x ,                                     1 < x < 3 x - 3 ,                           x ≥ 3

Passo 1

O enunciado pede para identificar os pontos de descontinuidade e em seguida classifica-los quanto a continuidade lateral. Antes de mais nada, devemos observar que f é definida por partes e que suas partes são funções contínuas. Assim, os possíveis pontos de descontinuidade são os pontos de “colagem”.

Vale lembrar também que uma função é contínua lateralmente em um ponto se o limite lateral coincidir com o valor da função no ponto em questão.

Passo 2

Os pontos de “colagem” são x = 1 e x = 3 . Primeiramente vamos analisar o que acontece em x = 1 . À esquerda desse ponto ( x < 1 ), f x = x + 1 , assim o limite lateral à esquerda é

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x + 1 = 1 + 1 = 2

À direita ( 1 < x < 3 ), f x = 1 / x , de modo que

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ 1 x = 1 1 = 1

Como os limites laterais são diferentes, lim x → 1 ⁡ f ( x ) não existe e f é descontínua nesse ponto. Por outro lado, como f 1 = 2 = lim x → 1 - ⁡ f x , f é contínua à esquerda nesse ponto.

Passo 3

Analisemos agora o que acontece em x = 3 . O limite à esquerda será

lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = lim x → 3 - ⁡ 1 x = 1 3

O limite à direita será

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = lim x → 3 + ⁡ x - 3 = 0

Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe e f é descontínua nesse ponto. Por outro lado, como f 3 = 0 = lim x → 3 + ⁡ f ( x ) , f é contínua à direita nesse ponto.

Passo 4

O esboço do gráfico de f é:

Resposta

R: f é descontínua em x = 1 (é contínua à esquerda nesse ponto) e e, x = 3 (é contínua à direita nesse ponto).

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