Enunciado

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Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f .

f x = 1 + x 2 ,                                 x ≤ 0 2 - x ,             0 < x ≤ 2 x - 2 2 ,                                       x ≥ 2

Passo 1

O enunciado pede para identificar os pontos de descontinuidade e em seguida classifica-los quanto a continuidade lateral. Antes de mais nada, devemos observar que f é definida por partes e que suas partes são funções contínuas. Assim, os possíveis pontos de descontinuidade são os pontos de “colagem”.

Vale lembrar também que uma função é contínua lateralmente em um ponto se o limite lateral coincidir com o valor da função no ponto em questão.

Passo 2

Os pontos de “colagem” são x = 0 e x = 2 . Primeiramente vamos analisar o que acontece em x = 0 . À esquerda desse ponto ( x < 0 ), f x = 1 + x 2 , assim o limite lateral à esquerda é

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ 1 + x 2 = 1 + 0 2 = 1

À direita ( 0 < x ≤ 2 ), f x = 2 - x , de modo que

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ 2 - x = 2 - 0 = 2

Como os limites laterais são diferentes, lim x → 0 ⁡ f ( x ) não existe e f é descontínua nesse ponto. Por outro lado, como f 0 = 1 = lim x → 0 - ⁡ f x , f é contínua à esquerda nesse ponto.

Passo 3

Analisemos agora o que acontece em x = 2 . O limite à esquerda será

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ 2 - x = 2 - 2 = 0

O limite à direita será

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 + ⁡ x - 2 2 = 2 - 2 2 = 0

Como os limites laterais são iguais, o limite existe e vale 0:

lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 0

Além disso, como f 2 = 0 = lim x → 2 ⁡ f ( x ) , f é contínua nesse ponto.

Passo 4

O esboço do gráfico de f é:

Resposta

R: O único ponto de descontinuidade de f é x = 0 . Neste ponto, f é contínua à esquerda.

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